На этом основании заключаем, что \ (k)-*-0 при k-oo, если выполняется предельное соотношение

lim Fft(r)=0. (2.10)

Таким образом, задача исследования устойчивости системы (2.6) сводится к исследованию свойств фундаментальной матрицы Р(Г).

Соотношение (2.10) выполняется в том случае, когда какая-либо норма матрицы Р(Г) меньше единицы [82]. Для наших целей удобно использовать норму следующего вида:

/?()=l/ i Flik), (2.11)

где Fij{k) - элементы матрицы Р(7).

Справедливо следующее положение: система (2.6) устойчива, если существует конечное число k = k*, такое, что для ее фундаментальной матрицы Р(Г) выполняется условие

/?(й* + /)<1, /=1, 2, ... (2.12)

Для неустойчивой системы существует такое значение k = k**, что

R{k** + l+\)>R{k**+l):>l, 1=1, 2, ... (2.13)

Сформулированное положение позволяет построить алгоритм исследования устойчивости системы, модель которой задана уравнением в пространстве состояний.

1. Интегрировать дифференциальное уравнение (2.8) для фундаментальной матрицы F(/) до i = T.

2. Для матрицы B = F(0 вычислить норму R(k)~\/ 2 В.

где Вц - элементы матрицы В.

3. Если /?(й) -КО, перейти к п. 4; иначе перейти к п. 5.

4. Печать заключения: система устойчива.

5. Выполнить умножение матриц ВхВ-*-В.

6. Увеличить переменную k в 2 раза: kX2-k.

7. Если k-k*<0, перейти к п. 2; иначе перейти к п. 8.

8. Печать заключения: система неустойчива.

Для повышения быстродействия работы алгоритма в нем предусмотрена проверка условий (2.12), (2.13) применительно к матрицам F, F, F", степени которых увеличиваются по закону геометрической прогрессии. Это позволяет сделать заключение об устойчивости или неустойчивости системы по норме Rik), вы численной для матрицы, возведенной в высокую степень k. На пример, после 5 умножений матриц ВхВ матрица Е(Г) будет .возведена в степень й = 64, а после 10 умножений =1024. Практически для прикладных задач можно назначать й* = 64... 128, что соответствует 5 и 6 умножениям матриц ВХВ.

Интервал интегрирования Г дифференциального уравнения (2.8) может быть назначен с учетом следующих рекомендаций. Если динамические свойства изучаемой системы (2.6) допускают возможность интегрирования с щагом h, то целесообразно принять Г= (50 ... 100)/г.

2.3. ИССЛЕДОВАНИЕ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ОДНИМ НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

Под абсолютной устойчивостью нелинейных систем автоматического управления понимается асимптотическая устойчивость в целом при произвольной характеристике нелинейного элемента y = F{x) в первом и третьем квадрантах внутри угла, образованного осью абсцисс и прямой у = КрХ.

Для исследования абсолютной устойчивости нелинейных систем широкое распространение получили методы, ведущие свое начало от работ румынского математика В. М. Попова. Разработан ряд эффективных алгоритмов и программ [1, 12], реализующих некоторые из этих методов. Все алгоритмы используют критерий устойчивости Попова, который формулируется следующим образом [57]:

для абсолютной устойчивости положения равновесия замкнутой нелинейной системы автоматического управления, состоящей из последовательно соединенных устойчивой линейной части с передаточной функцией W(p) и нелинейного элемента со стационарной характеристикой F{x) (рис. 2.1), удовлетворяющей условию

OF{x)/xKf, F{0)=0, Kf>0, (2.14)

достаточно, чтобы существовало такое действительное q, при котором для всех (00 выполнялось неравенство

Re[(l+j(7co)r(jco)] + l Cf>0,

(2.15)

где W(j«) = [ir(p)]p=j- час-тотная характеристика линейной части.

При проверке неравенства (2.15) необходимо осуществить перебор по двум переменным q я а, что представляет определенные трудности для систем высокого порядка. Задача исследования абсолютной устойчивости существенно упро-

Рис. 2.1 -»-

щается если использовать алгебраическую форму критерия Попова (2.15) в сочетании с критерием Рауса [98]. Такой подход исключает необходимость перебора по частоте в диапазоне

Пусть передаточная функция линейной части имеет вид W{p)= "ibip I iaipi,mn-l. (2.16)

i=0 / i=0

Частотную характеристику представим в виде

W{i(o) = (Bx+iB2)/iAx + \A2). (2.17)

Подставив (2.17) в (2.15), получим следующее эквивалентное неравенство [25]:

S{(i))==P{a)-KFQ(a)-KFqR(a)>0 при шО, (2.18)

где Р{(л), Q(o)) и R((o)-многочлены от со, определяемые по формулам Р=А1+А2, Q=i5, Ч-Лзг, /? = о) (Л,52-г,).

Предположив, что д я Kf заданы, можно представить условие (2.15) в алгебраической форме:

5((о)= 2 ёГ2Ь«*>0 прио)>0. (2.19)

При этом для вычисления коэффициентов g2h (2.19) можно получить следующие соотнощения [35]:

g2h = P2k+KFQ2h-KFqR2h, k = 0, 1, ..„ п, (2.20)

min {k,n-k)

P2h = al-2 2 (-1)о, га,+г,й = 0, 1, ... ,n;

min (2ft,n)

Q2k= E (-1)+»,-, = 0, 1, ... (2.21)

i=max(0.2fc-m) min(2ft-I,n)

R2h - 2 (- 1)*++ at Ьгк-1-1, = 0, 1, ... , m,

i=max( 0, 2ft- 1 -m)

Причем, если (-1)"+">0, то

mi = m2= («-fm)/2; (2.22)

в Противном случае

mi=(m-rn-1)/2, m2=(m + n+l)/2. (2.23)

Таким образом, задача исследования абсолютной устойчивости сводится к исследованию положительности многочлена S (со) относительно ш. Положительность многочлена S(o)) легко прове-