с(р) взаимно просты, то Mj делится на Ы(р)с{р). Применяя математическую индукцию, получаем, что произвольный минор -го порядка матрицы Е(р) делится на Ь(р)c~{p).

Разделив (1.55) на а{р), получим требуемое представление (1.54), в котором утверждения 1-4 леммы 5 выполняются в силу построения полиномов Ь{р), с(р) и матриц В(р), С(р). Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть q(p) - полином, S(р) - полиномиальная матрица степени, меньшей, чем степень q{p), произвольный минор k-ro порядка которой делится на q~(p). Тогда дробно-раци-очальную матрицу S{p)fq{p) можно представить в виде

=2. (1.58)

Я (Р) iti qi (р)

Здесь: 1) сумма степеней полиномов qi{p) не превышает степень q(p); 2) Si{p)-полиномиальная матрица степени, меньшей, чем степень qi (р); 3) произвольный минор -го порядка матрицы Si(p) делится на qiip); 4) среди элементов матрицы Si{p) есть взаимно простой с qi(p); 5) qi(p)=aЧр), где ai{p) - неприводимый полином. Утверждения 2-5 леммы выполняются при 1=1,2,...,/.

Доказательство. Представим полином q{p) в виде

q (р) = bi (р) ... V (Р), bi (р) = р (р), /= 1, 2,..., т,

где Pi (р) - неприводимые полиномы. Используя лемму 4, получаем

(1.59)

Я (Р) ,=1 Ьг (Р)

Если В каждой из полиномиальных матриц Вг(р) есть элемент, взаимно простой с bi{p), то полученное разложение (1.59) совпадает с искомым (1.58). В противном случае, используя лемму 5, продолжим разложение тех членов Bi{p)/bi(p), в которых среди элементов матрицы числителей нет взаимно простого со-знаменателем. Члены, в которых матрица числителей нулевая, отбрасываем. В результате получим разложение (1.58), в котором выполняются все утверждения леммы.

Теорема 2. Пусть q{p)-полином степени п, R(p)-полиномиальная матрица степени не выше л, произвольный минор k-ro порядка которой делится на q~{p). Тогда передаточная матрица V/{p)=R(p)/q(p) может быть реализована в виде уравнений состояния порядка не выше п.

Доказательство. Найдем конкретную реализацию уравнений состояния (А, В, С, D), имеющую заданную передаточную матрицу W(p).

Определим матрицу D. Для этого представим передаточную матрицу в виде

R(p)/.7(p)=S(p)/.7(p)+D, (1.60)

где 8(/о) полиномиальная матрица степени ниже п. Элементы 4ij матрицы D равны коэффициентам при р" полиномов rij{p). Из (1.60) определим S(p):

S(p)=R(p)-(?(p)D.

Произвольный минор k-TO порядка матрицы S(p) также делится на Это можно показать, используя теорему об определи-

теле суммы матриц..

Определим матрицы А, В, С, т. е. найдем реализацию в уравнениях состояния передаточной матрицы S{p)/q(p). Если среди элементов матрицы S(p) есть взаимно простой с q{p), то искомую реализацию в уравнениях состояния находим, используя лемму 3.

Рассмотрим теперь случай, когда среди элементов матрицы S{p) нет взаимно простого с q{p). Используя лемму 6, получаем представление передаточной матрицы S{p)/q{p) в виде (1.58). Для каждой из передаточных матриц Si(p)lqi{p) в разложении (1.58) найдем реализацию в уравнениях состояния (Ai, Bj, Сг), воспользовавшись леммой 3. Тогда реализация в уравнениях состояния передаточной матрицы S(p)/q(p) имеет вид

; С-[С, ...С,-].

Теорема доказана. Отметим, что полученная реализация в уравнениях состояния имеет минимальный порядок среди всех возможных реализаций, поскольку передаточные матрицы Si{p)f Jqi(p) в разложении (1.58) несократимы.

Следствие из теорем 1, 2. Пусть q(p)-полином степени п, R(p)-полиномиальная матрица степени не выше п. Для того чтобы можно было реализовать передаточную матрицу R{p)fq{p) в виде уравнений состояния порядка не выше п, необходимо и достаточно, чтобы произвольный минор матрицы R(p) делился на Ф~{Р), где k - порядок минора. Необходимость следует из теоремы 1, а достаточность из теоремы 2.

Доказательство теоремы 2 имеет конструктивный характер: на его основе может быть построен алгоритм получения по заданной передаточной матрице уравнений состояния минимального порядка.

Алгоритм реализации передаточной матрицы в виде уравнений

состояния

1. Привести передаточную матрицу к общему знаменателю; общий знаменатель находится как наименьшее общее кратное (НОК) всех знаменателей передаточной матрицы.

2. Проверить делимость всех миноров k-vo порядка матрицы числителей на {к-1)-ю степень знаменателя для k=2,... ..., min(m, /), где mX/ -размер передаточной матрицы. Если для очередного минора k-то порядка М{р) делимость на q~{p)

не выполняется, перейти к п. 3. Если делимость выполняется для всех миноров, перейти к п. 4.

3. Вычислить ф(р) = НОК[Л1(/о), g-4p)]/M(p). Умножить знаменатель и матрицу числителей на ф(р). В результате минор, для которого не выполнялось деление, станет равным М(р)ф(р) и будет делиться на {k-1)-ю степень знаменателя, равную Ч~ip)~ЧP) Дя экономии количества операций умножение можно не производить, а запомнить сомножитель ф(р). Перейти к п. 2.

4. Найти для полученной передаточной матрицы уравнения состояния минимального порядка, воспользовавшись теоремой 2.

Пример. Найдем уравнения состояния минимального порядка для передаточной матрицы

Р + 1

Р + 3 \

(1.61)

р+1 р+и

Приведя эту передаточную матрицу к общему знаменателю, имеем

1 [р + З 2{р + 1)-

(Р-Ь 1) (Р + З) [р+з ,,4-3

Единственный минор второго порядка матрицы числителей равен (р+3)(1-р) и ие делится на знаменатель, поэтому данную передаточную матрицу нельзя реализовать в виде уравнений состояния второго порядка. Умножим матрицу числителей и знаменатель на р-ЬК Теперь минор второго порядка матрицы числителей равен (р-Ь1)(р-ЬЗ) (1-р) и делится на знаменатель, равный (p-f -(-1)(р+3). Таким образом, передаточную матрицу (1.61) можно реализовать в виде уравнений состояния третьего порядка.

Среди элементов полученной матрицы числителей, нет взаимно простого со знаменателем, поэтому произведем разложение передаточной матрицы, используя лемму 6:

W (р) =

1 о 1 о

p-f 1

о о о 1

Р-ЬЗ

о 2 О О

Искомая реализация в уравнениях состояния имеет вид

ОБРАЩЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МАТРИЦ

При решении ряда задач проектирования автоматических систем (например, построения закона управления по заданной тра-