редаточных функций формирующего фильтра и системы управления. Продифференцировав выражение (10.16) по параметру а, получим коэффициент чувствительности установившейся дисперсии

D„=- \[Wa{p)W{-p]+W(p)Wi-p)]dp. (10.17)

Преобразуем выражение (10.17) таким образом, чтобы можно было воспользоваться алгоритмом вычисления интегралов вида (10.16), изложенным в § 4.1. Выражение (10.17) может быть представлено в виде

D„=D2-cD-DI/c (10.18)

где D определяется по формуле (10.16), а

D, = -L fWo,(p)W{-p)dp, (10.19)

D, = -i- ]0(p)0{-p)dp; (10.20)

0{p)=cW{p) + W(p)c. (10.21)

Таким образом, вычисление коэффициента чувствительности установившейся дисперсии сводится к вычислению интегралов вида (10.16), для которых существует эффективный алгоритм.

Коэффициент с может принимать произвольное ненулевое значение, однако для предотвращения потери точности при вычитании близких чисел желательно, чтобы выражение сЮ+Di/c принимало минимальное значение. Из этого условия получаем

с=УоВ. (10.22)

Алгоритм вычисления коэффициента чувствительности установившейся дисперсии на основании передаточной функции W{p) и функции чувствительности (р) будет следующий:

1. Используя алгоритм § 4.1, вычислить D, Di по формулам ;(10.16), (10.19).

2. Найти с и Ф(р) по формулам (10.22), (10.21).

3. Используя алгоритм § 4.1, вычислить Ог по формуле (10.20).

4. Определить искомую чувствительность по формуле (10.18).

10.4. МАСШТАБИРОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

При исследовании автоматических систем высокого порядка часто возникает опасность переполнения разрядной сетки ЭВМ. Выше было показано, как предотвратить переполнение при расчете частотных характеристик. Однако переполнение может произойти еще на этапе расчета коэффициентов передаточных функций из-за того, что эти коэффициенты оказываются очень большими. Наибольшие значения имеют обычно коэффициенты передаточных функций при младших степенях р. Например, коэффициент характеристического полинома при нулевой степени р ра-

вен произведению всех корней. Если среднегеометрический корень равен 100, то значение этого коэффициента равно 100", где п - порядок системы. В этом случае переполнение произойдет для ЭВМ серии ЕС при п = 39, а для БЭСМ-6 уже при п=10.

Можно ограничить значения коэффициентов, разделив их все на наибольший коэффициент, но при этом возможно исчезновение порядка - некоторые ненулевые коэффициенты могут стать нулевыми.

Опишем способ представления передаточных функций, который позволяет значительно уменьшить разброс значений коэффициентов, в результате уменьшается опасность переполнения и не возникает опасность исчезновения порядка.

Передаточную функцию (10.1) можно представить в виде

Г (р) = t (, р) = bnPr+V..ii.Pr- + ...+b. 23)

an (lip)" + fl„ , (fxp)"- + ... + flo

где коэффициенты a,, Bi {i=0, n) определяются нз выражений а{ = ащ-\ Bi = bi\i-\ Выбрав масштабный коэффициент х надлежащим образом, можно значительно уменьшить разброс значений коэффициентов передаточной функции. Например, передаточную функцию

W(p) =

представим в виде

W(p) = !

где ц=0,01. В результате значение максимального коэффициента уменьшится от 10 до 10.

Масштабирование передаточной функции заключается в выборе коэффициента х и расчете коэффициентов а,, Bi передаточной функции в виде (10.23). Масштабирование может производиться в процессе расчета передаточных функций или предварительно по уравнениям состояния илн структурной схеме.

Рассмотрим алгоритм масштабирования для системы, представленной уравнениями состояния

x=u\x-bBu, y = Cx-bDu.

Матрицу передаточных функций этой системы можно представить в виде

W (р) = W (ip) = С (,хр1-А) В -t- D,

где А = ,А; B = i,B. Коэффициент х можно задавать примерно равным средней постоянной времени системы.

Можно предложить также алгоритм, основанный на априорной оценке максимального коэффициента характеристического полинома: 256

1. Произвести уравновешивание строк и столбцов матрицы А путем выполнения преобразования A = QAQ-i, B = QB, C = CQ~ с диагональной матрицей Q. Матрица Q выбирается так, чтобы максимальные по модулю элементы t-й строки и t-ro столбца матрицы А для t=l, п были примерно одинаковыми. Алгоритм такого уравновешивания (алгоритм масштабирования матрицы) приведен в [81].

2. Найти максимальные по модулю элементы всех строк матрицы А: at = maxa,j (/=1, п),

3. Вычислить а - среднегеометрическое всех ненулевых а». Чтобы избежать переполнения, вычисление произведения чисел выполнить, суммируя их логарифмы.

4. Принять \k= 1/а.

5. Принять А = ц.А, В=цВ.

6. По четверке (А, В, С, D) вычислить передаточную матрицу

W(p) =С(р1-A)-iB-bD. Элементы этой передаточной матрицы и будут искомыми элементами нормированной передаточной матрицы с масштабным коэффициентом ц.

Для расчета характеристик по нормированной передаточной функции W{p) используются следующие соотношения:

частотные характеристики

Г(]©) = Й(]№)),

L(co)=201gir(j>co), a5((o)=arg

переходная характеристика

где у{%) - переходная характеристика для передаточной функции 1Г(р);

нули (полюсы) передаточной функции

где - нули (полюсы) 1(р); установившаяся дисперсия

d = -Ld = -1- (w{p)W(-p)dp.

ГЛАВА 11

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ

Дана постановка задачи параметрической оптимизации и рассмотрены методы ее решения; предложены новые эффективные алгоритмы, ориентированные на интерактивную оптимизацию по векторному критерию; проведено экспериментальное испытание алгоритмов на тестовом примере.

9-69 257