Изложим процедуру алгоритмического решения задачи определения параметров iKvj]=K, обеспечивающих желаемое протекание процессов наблюдения в возмущенном режиме, характеризуемом значительными динамическими составляющими \{q) по сравнению со случайными. Будем исходить при этом из уравнения для \{q), которое получается в результате почленного вычитания (8.57) из (8.68). Выполнив эти преобразования, найдем

\{д+1) = Ф{Т)у{д) + КСу{д). (8.69)

Величины К vi будем выбирать из условия приближения решения системы (8.69) к эталонной системе, структура которой соответствует структуре (8.69):

W{q+\)=F(q), W(0)=v(0), (8.70)

где - известная (л х л)-матрица.

Если в исследуемой системе (8.53) имеет место полная степень наблюдаемости (т = «), можно реализовать точное совпадение процессов \{q) и (q). Это достигается при K=(F-Ф)0~. При неполной степени наблюдаемости {т<Сп) можно реализовать лишь наилучшее в некотором смысле приближение \{q) к {q). В качестве меры приближения будем использовать квадратичный функционал

ЛК)= Miq}Rn{q), (8.71)

заданный на функциях

а{д) = {Ф--Р){д) + КО{д). (8.72)

При этом R - неотрицательно-определенная диагональная матрица; - некоторое целое положительное число. Равенство (8.72) вытекает из (8.69) после подстановки в него {q) и 4f{q + + 1) из (8.70) вместо V(<7) Kv{q+1) соответственно.

Дифференцируя (8.71) по К у, с учетом (8.72), найдем уравнение для оптимального значения Ко:

(Ф- F) SG" + Ко GSG" = 0, S = 2 ((7) Ч (q), (8.73)

ff=0

реализующего min/(К). Из (8.73) следует

Ko=(F-Ф)SG(GSG)-. (8.74)

Таким образом, процедура определения Ко состоит в решении уравнения эталонной системы (8.70), формировании S в соответствии с (8.73) и вычислении Ко по (8.74). Применение этой процедуры разрешает задачу синтеза параметров алгоритма наблюдения для возмущенного режима из условия наилучшего приближения в смысле минимума функционала /(К) процесса оценивания математических ожиданий координат изучаемого движения к движению эталонной системы (8.70).

ПАРАМЕТРЙЧЕСКИИ СИНТЕЗ АЛГОРИТМА НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ НЕВОЗМУЩЕННОГО РЕЖИМА

В невозмущенном режиме, характеризуемом незначительными отклонениями v.=Xy,-x*„ , выбор параметров [>.vn ]=Л- в (8.67) необходимо осуществлять из условия достижения наименьшего уровня случайных ошибок оценок. Как и ранее, вместо Л в (8.67) можно определять непосредственно матрицу К = 2ФЛ0, поскольку в конечном итоге уровень случайных ошибок определяется матрицей К. Найдем значения К из условий достижения минимальных дисперсий оценок каждой координаты на каждом шаге работы алгоритма наблюдения:

(К) = m[x{q+l)- х {q + 1)]2 = О.Л? + 1) = min,

v= 1, 2, ... , п, q = 0, 1,... ,

С учетом принятого обозначения для К на основании (8.67) получим уравнение для случайных центрированных составляющих оценок

x{q+\)=Фx{q) + K[Gx{q)-l{q+\)]. (8.75)

Исходя из (8.75), находим уравнение для матрицы 0(+1) =

= М[х(9+1)х(<7 + 1)] вторых моментов:

0((7+1)=ФО((7)Ф + ФО((7)ОК+КОО((?)Ф + -bKGD((7)G-K + KP((7 + l)K. (8.76)

При вычислениях в (8.76) учтено, что М.[ху iq)j{q+1)]=0. Имея в виду (8.76), выражения для (К) можно представить в виде:

J,{K) = e\D{q+l]e, = JM, (8-77)

где е = (О... 010... 0), причем индекс v указывает место единицы в строке, а векторы Kv= (Ду i Kv2 - Kvm) образованы из строк матрицы К. Оптимальные значения K*v, доставляющие минимум •v(Kv). определяются из уравнений cf/v (Kv )/К v =0. Выполнив необходимые преобразования, найдем

ФD{q)G-+K*[GD{q)G-+P{q+\)]0, (8.78)

откуда получим

К*((7+1)=-ФD((7)G-[GD((7)G + P((7-Ы)]-. (8.79)

Вычислением матрицы К* исчерпывается задача параметрического синтеза алгоритма наблюдения в невозмущенном режиме. Необходимые для вычисления К* вторые моменты Dn (Q) при Каждом q могут быть найдены из (8,76).

Таким образом, алгоритм наблюдения в возмущенном режиме Можно записать в окончательном виде:

х((7+1)=Фх((7)+К*(9+1)[НФх(<7)-2(<7+1)], K*(q+\)=~ФD{q)Ф}[HФD{q)Ф-И+P{q+l)]-, D(q+l) = [l + K*iq+l)ЩФD{q)Ф\ (8.80)

I 199

Последнее уравнение в (8.80) для D{q+l) получено из (8.76) после подстановки в него К=К*.

Опираясь на общие теоремы о статистической устойчивости динамических систем [38], можно показать, что оценки, получаемые с помощью алгоритма (8.80), являются несмещенными. Отметим, что найденный алгоритм наблюдения для невозмущенного режима аналогичен известному [73].

МЕХАНИЗМ АДАПТАЦИИ

Как уже отмечалось, использование различных параметров в алгоритмах наблюдения в возмущенном и невозмущенном режимах позволяет адаптироваться к условиям функционирования алгоритма. Отметим также, что применение адаптивных в указанном смысле алгоритмов позволяет обеспечить высокое качество наблюдения не только при наличии внешних воздействий. Применяемые оптимальные алгоритмы обработки информации при большом времени наблюдения теряют устойчивость. Нарушение устойчивости обусловлено неточностью математического описания изучаемого процесса, ошибками вычислений и другими причинами. Наличие ошибок оценивания при нарушении устойчивости приводит к возникновению возмущенных режимов наблюдения. Поэтому переключение параметров в таких случаях позволяет восстановить устойчивость алгоритма.

Для распознавания режимов наблюдения могут использоваться различные критерии (признаки). Один из возможных может быть основан на сравнении величин \xj{q+l)-Zj{q+l)\ и средиеквадратических погрешностей Pjj q+\) измерения. Здесь x:j{q + -Ы) - компоненты вектора x{q+ )=ИФ\{д), а Pjj ~ диагональные элементы матрицы P{q+l). В этом случае режим наблюдения можно считать возмущенным, если \xj(q+\)-Zj(q+l)\> >yPii{Q+) при у>Охотя бы для одного значения /=1, 2, т. Напротив, если имеют место неравенства противоположного знака для всех /=1, 2..... т, то режим наблюдения естественно считать практически невозмущенным. При v = 2 изложенное правило можно назвать правилом «двух средиеквадратических». Его применение обеспечивает распознавание режимов наблюдения с высокой достоверностью.

В заключение отметим, что изложенная теория синтеза алгоритмов наблюдения допускает обобщение на случай, когда изучаемый объект подвержен управляющим воздействиям и является нестационарным.

8.5. НАБЛЮДЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ

В некоторых случаях задачу фильтрации целесообразно решать для случая, когда математическая модель исследуемой системы представлена разностным уравнением. Изложим методику построения алгоритма наблюдения, принимая, что движение диск-