Необходимое и достаточное условие выводится по таблице Рауса (табл. 2.1), которую составляют по коэффициентам ао, Й1, й„ многочлена (2.2).

Таблица имеет п-\-\ строк и /п=[п/2]--2 столбцов, заполняется по следующим правилам. В первую очередь записывают коэффициенты с четными индексами: Си = йо, С12 = Й2, С1з = Й4, .... На место последнего элемента первой строки записывают нуль. Во вторую строку таблицы записывают коэффициенты с нечетными индексами: C2i==fli, С22 = аз, С2з = а5, ... На место предпоследнего и последнего элемента второй строки записывают нули, если п нечетное. Если п четное, нуль проставляют только на место последнего элемента. Приведенный вариант табл. 2.1 соответствует нечетному п. Остальные элементы таблицы Рауса вычисляют по рекуррентным формулам

Cih = Ci-2, fe+i-DiCi-i,k+i, Di = Ci-2,i/Ci-i,u t = 3, 4, n+l; k=l, 2, m.

(2.4)

Критерий Рауса формулируется следующим образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы были положительны:

си>0, С21>0, с„+,,1>0. (2.5)

Если какой-нибудь коэффициент отрицателен, то система неус-гойчива. Наконец, число перемен знаков у коэффициентов первого столбца равно числу полюсов передаточной функции W{p), расположенных в правой полуплоскости. При этом обращение в нуль какого-нибудь коэффициента трактуется как перемена знака.

Структура таблицы Рауса такова, что Ci.m+s=0 (s=\, 2, ...,), если Cim = 0. Этот факт используется при выполнении вычислений.

Таким образом, алгоритм исследования устойчивости системы должен предусматривать проверку необходимого условия (2.3) и

вычисление элементов табл. 2.1 по формулам (2.4). В процессе заполнения таблицы проверяются условия (2.5). Этот алгоритм реализуется подпрограммой RAUTH.

Подпрограмма RAUTH

Назначение: анализ устойчивости линейной системы по ее характеристическому полиному A(l)-fA(2)*P-f...-t-A(N-f 1)*P**N. Обращение: CALL RAUTH (А, N, IP).

Параметры:

A - массив коэффициентов характеристического полинома в порядке возрастания степеней р, N - порядок характеристического полинома,

IP - целое число, равное 1, если система устойчива, и О, если она нег устойчива.

Пример. Принимается характеристический многочлен следующего вида: А (Р) = р*+16p3+32p2-t-i Op-f 5.

Исходными данными программы RAUTH являются: N=4; А=(5, 10, 32, 16, 1). Результаты работы программы приведены в табл. 2.2. Все элементы ее первого столбца положительные, что свидетельствует об устойчивости системы.

с ITPVMEP ИСПОЛЬЗОВАНА ПОДПРОГРА»*! RAUTH

DIfENSION а<1»)

пата N/4/, а/5..10.,32.,16.,1./

сш. RAUTH(A,N,IP)

IF(IP.EX».0) PRINT 10

IF(IP.EQ.l) PRINT 15 10 FORMAT(/5X,система неустойчива/) 15 FORMAT(/5X,система УСТ01*<ива/)

STOP

с подпрограмма RAUTH

SUBROUTINE RAUTH(A,N,IP) DIMENSION A(lbC(51)

с с - рабочий массив размером «: менее fH-l

Ю 10 1=1,N J=N+2-I 10 C(J)=A(I) C(1)=A(N«-1) no 30 K=1,N

IF(C(K>1>»C(K).LE.0.) QO TO 40

ri=C(K)/C(K+l)

K2=K+2

IF(K2.GT.N) GO TO 3»

no 20 I=K2,N,2 2» C<l)=C(I)-D«C(I+n 30 CONTINUE

IP=1

RETURN 4» IP-0

RETURN

EM>

2.2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЕ

Модель системы задана дифференциальным уравнением в пространстве состояний

x(0=Ax{0 + Bu{0, (2.6)

где матрицы, А, В размера пХп и пхт принимаются постоянными. I

Вопрос об устойчивости системы (2.6) можно было бы решить, например, с помощью программы RAUTH, предварительно определив характеристический многочлен передаточной функции по какой-нибудь координате Xk вектора х. Однако представляет интерес специальная алгоритмическая процедура исследования устойчивости, основу которой составляет анализ свойств фундаментальной матрицы, отвечающей (2.6).

В соответствии с формулой Коши решение дифференциального уравнения (2.6) при и = 0 записываем в виде

x{t)F{t~U)x(U), (2.7)

где F(/)-фундаментальная матрица размера пХ«, удовлетворяющая уравнению

F(0=AF(0, F(0) = I. (2.8)

Рассматривая решение х(/) в дискретные моменты времени, кратные Т, примем to = kT, t= {k+\)T. Подстановка этих значений в (2.7) приводит к разностному уравнению

x(+l)=F(7)x(), = 0, 1, ... (2.9):

Исследуемая система (2.6) устойчива, если

гласно (2.9) имеем x(l)=F(r)x(0), x(2) = F(r)x(l) = F2(r)x(0),

lim х(й)=0. Со-

x{k)=?{T)x{k-\)=¥T)x{Q).