Справедливы равенства

х2= (qx)(qx) =xqqx; = (q-\x)q-Ax.) = =xfAqqAx, ...

или в общем виде

[.tW]2 = x-Q,x, Q. = A-Q.-,A, Qo = qq 5=1, 2..... (3.37)

Введем (лХ«)-матрицу

V=aoQo + aiQi+ ... +ahQk, ао = 1. (3.38)

Тогда для интегральной квадратичной оценки порядка k можно записать следующее выражение:

Л = jx(OVx(0*.

(3.39)

Нача.яо

/Исходные / данные /

Таким образом, алгоритм определения интегральной квадратичной оценки порядка k включает следующие операции:

1. Вычисление матриц Qs по формуле (3.37).

2. Вычисление матрицы V по формуле (3.38).

3. Интегрирование дифференциального уравнения (3.36) исследуемой системы.

4. Вычисление интеграла в соответствии с выражением (3.39).

Схема алгоритма представлена на рис. 3.2.

По изложенной методике можно вычислить интегральные квадратичные оценки для любой переменной исследуемой системы. В частности, если необходимо вычислить оценку !и для импульсной характеристики w{t), то расчетные соотношения нужно строить, основываясь на уравнениях (3.10). В данном случае формулы (3.37) -(3.39) остаются без изменений. Как и ранее, необходимо, чтобы система (3.10) была устойчивой.

Расчетные соотношения (3.37) - (3.39) определяют интегральные квадратичные оценки выходной переменной системы (3.36) в свободном движении. Соответствующими преобразованиями к виду (3.36) могут быть приведены уравнения управляемой системы. Пусть, например, требуется вычислить интегральную оценку выходной переменной x{t) системы:

/Печать f

результатов /

Печать результатов

/(анец

Рис. 3.2

x(t)=Ax{t)+Bu(t), ii{t)=kx{t), x(t)=qx{t). (3.40)

Здесь к - вектор коэффициентов усиления обратных связей. В результате подстановки выражения для управляющей функции и в дифференциальное уравнение (3.40) будем иметь

x{t)=Ax{t), x(0=q(0. A = A + bk

Структура этих-уравнений в точности соответствует (3.36). Поэтому искомые оценки могут быть вычислены по формулам (3.37) (3.39).

Методика вычисления интегральных квадратичных оценок изложена для случая, когда модель исследуемой системы задана уравнением состояний. Если модель системы задана передаточной функцией (3.1), то необходимо перейти к другому математическому описанию в виде дифференциальных уравнений (3.4). После этого для вычисления квадратичных оценок можно воспользоваться построенным алгоритмом.

МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим теперь многомерную систему, свободное движение которой описывается уравнением

x(t)=Ax{t),y(t)=Cx{t). (3.41)

Здесь у - вектор выходных переменных уи г/2..... Ут] матрицы

А, С постоянны. Принимается, что движение системы устойчиво. Требуется вычислить интегральные квадратичные оценки

Js.k = ]{yl+o,yl+-+oH{ylY)dt, s=l, 2,...,г. (3.42) о

Индекс S указывает номер выходной переменной, а k - порядок оценки.

Значения Js,k можно было бы вычислить с помощью алгоритма, построенного для одномерной системы, применяя его последовательно для каждой переменной j/s() =ejy () =esCx(i) = = Csx{t). В таком случае в исходных данных этого алгоритма необходимо вместо вектора q вводить Ci, Сг. Таким образом, искомые оценки могут быть получены г-кратным применением алгоритма, схема которого приведена на рис. 3.2.

Оценки Js,h можно вычислить, однако, в результате однократного интегрирования уравнений движения исследуемой системы. Получим необходимые расчетные соотношения. Заметим прежде всего, что диагональные элементы (гХ)-матрицы

yUt)-yAt)yAt)

.yr{i)yi{i)-yr{t) J

(3.43)

представляют собой квадраты выходных переменных УзСО (s== = 1, 2, г). Аналогично диагональные элементы матрицы у(0У(О есть квадраты производных выходных переменных t/sii)- С другой стороны, на основании (3.41) можно записать следующие равенства:

y{t)yЦt)=Cx{t)xЦt)C,

y(Oy(0=CAx(OxУ(OA-C

y{t)r{t)=C\x{t)xt)\C\

или в общем виде

Уш(t)y\г{i)=RшX(t)xЦt)R-rn, R,n=Rm-lA, Ro = C, (3.44)

где т {гп = 0, 1, ...) - порядок производной. С учетом (3.43) и (3.44) можно заключить, что диагональные элементы матрицы

P, = ]R,x(t)x4t)Rldt[Pif] (3.45) о

представляют собой интегралы от квадратов выходных переменных

Jy\{t)dt = P\°i\..., ]yUt)dt = Pl°. (3.46)

о о

Аналогично диагональные элементы матрицы

P, = ]R,xit)xt)R]dt=[PiP] (3.47

представляют собой интегралы от квадратов производных выходных переменных

Jy\{t)dt = P\\\..., Jy,it)dt = PilK (3.48)

в общем случае матрица

P,n=]RmMt)y4i)Rdt=lPiV]. /n = 0, 1,..., (3.49)

имеет в качестве диагональных элементов интегралы от квадратов производных порядка т от выходных переменных

J[y[">{t)fdt = p[T..... ][yi"\t)rdt = PlT\

о о (3.50)

Следовательно, искомые интегральные оценки (3.42) определяются формулами

Js.k = Pi°+oiP[l+... + аР1\ 5=1, 2,..., г. (3.51)

Таким образом, реализация соотнощений (3.44), (3.49) и (3.51) позволяет вычислить требуемые интегральные квадратичные оцен-

3-69 65