упорядочения блоков структурной схемы (см. § 1.3). Такой подход, впервые использованный в программе цифрового моделирования ASTRAL [33], применяется почти во всех программах моделирования.

Недостатком явных методов является необходимость выбирать шаг интегрирования в несколько раз меньше наименьшей постоянной времени, даже если искомое решение изменяется достаточно медленно. Этого недостатка лишены неявные методы, в них шаг интегрирования определяется исходя из скорости изменения решения и может превышать наименьшую постоянную времени. Однако при реализации неявного метода необходимо на каждом шаге интегрирования решать систему нелинейных алгебраических уравнений. Снизить вычислительные затраты при решении алгебраических уравнений позволяет использование разреженности матриц [79]. Однако и в этом случае затраты времени на один шаг неявного метода значительно больше, чем для явного метода.

Несмотря на то, что в области численного решения дифференциальных уравнений за последнее время достигнут значительный прогресс, задача повышения эффективности методов численного интегрирования остается весьма актуальной. Дальнейшее повышение эффективности численных методов возможно путем учета специфики решаемых задач. В связи с этим представляет интерес разработка методов, специально ориентированных на расчет систем, заданных в виде структурной схемы. Такие методы рассматривались в работах [4, 7, 10, 77].

Анализ методов расчета структурных схем позволяет сделать вывод о том, что основной трудностью, препятствующей построению эффективных методов, является наличие контуров обратной связи. Для расчета обратной связи необходимо либо использовать явный метод интегрирования, либо решать систему алгебраических уравнений. В первом случае снижение эффективности вызвано необходимостью выбирать малый шаг интегрирования, во втором- необходимостью решать алгебраические уравнения.

В настоящем параграфе предложен метод цифрового моделирования, специально ориентированный на представление системы в виде структурной схемы и позволяющий объединить некоторые преимущества явных и неявных методов интегрирования. Идейной основой метода является метод определяющих неизвестных, используемый при решении алгебраических уравнений [67]. Рассмотрим этот метод на примере системы нелинейных алгебраических уравнений вида: )

yi = fi{yu г/2, г/3, г/4, ys), г/2 = /2(г/1, г/2, г/3, г/4, г/б), г/з = /з(г/1, г/2), г/4 = /4(г/1, г/2, Уз),

г/5 =/5(г/1, 1/2, г/3, г/4). (9.24)

Если бы г/1 и г/2 были известны, то из 3-го, 4-го, 5-го уравнений 234

можно было бы последовательно определить г/з, г/4, Цъ- Неизвестные Ui и Уг называют определяющими, поскольку по ним легко могут быть определены все остальные неизвестные. Подставляя последовательно 5-е, 4-е, 3-е уравнения в 1-е и 2-е, получаем систему уравнений для определяющих неизвестных:

г/1 = ф1(г/1, г/2), г/2=4)2(2/1, г/2),

рещая которую, находим г/i и г/г- Остальные неизвестные находим из (9.24) прямой подстановкой.

В рассмотренном примере решение системы алгебраических уравнений с пятью неизвестными свелось к решению системы с двумя неизвестными. Таким образом, метод определяющих неизвестных позволяет уменьшить размер решаемой системы, используя структуру уравнений.

Метод определяющих неизвестных нашел применение при расчете электронных схем [62]. На его основе могут быть также построены эффективные методы расчета структурных схем.

В качестве определяющих переменных структурной схемы выберем выходные сигналы таких блоков, при удалении которых из схемы размыкаются все обратные связи. Назовем такие блоки определяющими. Если известны выходные сигналы определяющих блоков, то все остальные блоки структурной схемы могут быть последовательно рассчитаны с помощью неявного метода интегрирования без решения алгебраических уравнений (по явной схеме вычислений). При этом расчет блоков, описываемых передаточными функциями, производится по формулам § 9.3.

При реализации предлагаемого метода необходимо в каждый момент дискретизации находить значения определяющих переменных. Это может быть выполнено двумя способами: применением явной или линейно-неявной формулы интегрирования. В первом случае общая схема вычислений остается явной и не требует решения алгебраических уравнений, во втором - необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений, порядок которой равен числу определяющих блоков.

Рассмотрим первый способ на примере структурной схемы на рис. 9,7,а. В качестве определяющей выберем переменную х, которую будем рассчитывать явным методом Эйлера. Переменную Z будем рассчитывать неявным методом Эйлера. Расчетные формулы имеют вид

Xi+i=Xi-\-hVi,

yi+i-=f{xi+i),

Vi+i = Ui+i-Kxi+i-i+i- !

Нетрудно составить расчетные формулы, используя приведенные в табл. 9.1 методы Рунге -Кутта второго порядка (явный и неявный).

Как показали проведенные эксперименты, подобное совместное использование явного и неявного методов в первом способе поз-

Рис. 9.7

воляет увеличить шаг интегрирования в несколько раз, чем при использовании только явного метода, причем требования к точности и затраты на один шаг остаются без изменений. Тем не менее шаг интегрирования в первом способе ограничен, и если его выбрать больше определенного значения, численное решение станет неустойчивым. Более эффективным может быть второй способ, когда определяющие блоки рассчитываются линейно-неявным методом. В этом случае, если процесс устанавливается, шаг интегрирования можно увеличивать неограниченно.

При использовании второго способа, для нахождения определяющих переменных необходимо составить и решить уравнения, получаемые при дискретизации линеаризованной структурной схемы неявным методом. При составлении таких уравнений удобно перейти от переменных й их приращениям. Для схемы на рис. 9.7,а уравнения для приращений при использовании линейно-неявного метода Эйлера имеют вид:

Ax=h{Vi+Avi),

Ay=fxAx,

Az=h{yi+Ay),

Ду=Л«-КАх-Az, (9.25)

где iAx=Xi+i-Xi; Ау=Уг+х-уг\ A2=2,-+i-г,-; Av=Vi+x-Vi; Аи=> = «i+i-«i; fx= {df(x)ldx) \x=xi. Решая эти уравнения относительно определяющей переменной Ал:, получаем: Ax = h(vi+hyi + Au)l(l + hK+h%),

и окончательные расчетные формулы при использовании второго способа имеют вид:

Xi+i=Xi+h{Vi + hyi+Au)/{l+hK+h%),

yi+i = f{Xi+i),