а затем проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение.

Оптимальная система всегда устойчива асимптотически, поэтому все собственные значения матрицы Ао расположены в левой полуплоскости, значит, матрицы Ао и -Ао не имеют общих собственных значений; отсюда следует, что матричное уравнение (5.10) имеет единственное решение. Это уравнение целесообразно решать, используя кронекерово произведение матриц [11]. Приведем уравнение (5.10) к виду

i, j= 1, 2,... , л.

(5.11)

где приняты следующие обозначения: дк/д(рц, 5Ф/5фг; - векторы-столбцы размерности nXl, составленные из элементов матриц

dKld(pij, дФ1дц)ц, записанных строка за строкой; >4о-(пХ«)-матрица, образованная из сумм кронекеровых произведений матриц

Ао и I: Ао = Ао®1--1®Ао-. Здесь знак ® есть символ кронеке-рова произведения матриц, т. е. А®В = [а,,В] (t, /=1, 2,...,«), Из уравнения (5.11) получим

K A--A-, (5.12)

Начала J

Решение дифференциального уравнения (5.12) можно получить на ЭВМ, используя стандартные программы интегрирования дифференциальных уравнений. Начальные условия этого уравнения можно найти из уравнения (5.8), решив его для предварительно выбранных значений элементов весовых матриц Ф и W. Аналогично можно найти зависимости Kiij), D{lpiJ) и Aoij).

С помощью стандартных программ для вычисления собственных значений матриц, нетрудно построить траектории собственных значений матрицы Ао, определяющих динамические свойства системы в зависимости от значений элементов весовых матриц. Схема алгоритма, реализующего изложенную методику, приведена на рис. 5.1. Программа для ЭВМ, соответствующая этому алгоритму, написана на языке Фортран и имеет имя MAD.

Ao=A;ei+i» а;

dfij

0 si

В = ЧГ-в к

Печать графикод

Вычисление собственных значений матрицы Ао

Печать графи1оВ

Конец мнтегрирооанин

КанеиГ)

Рис. 5.1

программа MAD

Назначение: построение корневого годографа оптимальной системы при изменении одного из элементов весовой матрицы Ф.

Используемые стандартные подпрограммы [53]: LOC - вычисление иидек-са элементов матрицы, представленной в векторной форме; MCPY -копирование всей матрицы; EVVGM - вычисление собственных значений и собственных векторов действительной матрицы общего вида; RKGS - решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге - Кутта.

Подпрограмма RKGS содержит обращение к двум внешним подпрограммам: -FCT - вычисление правых частей дифференциальных уравнений; OUTP - выдача на печать результатов решения системы дифференциальных уравнений.

Используемые подпрограммы: PVNU, SNENIB, AANDD. -Подпрограмма SNENIB содержит обращение к внешней подпрограмме FUNMN, которая пред-1Яазначена для вычисления левых частей уравнений и их производных по неза-аиоимым переменны.м.

Подпрограмма PVNU Назначение: вход исходных данных.

Обращение: CALL PVNU(AO, В, FIO, PSL FIVAR, IFIID, АОТ, ВТ, PSH, :XSP, EPS, IT, POPPRl, PRMT, DEPY, HTIME, N, IR, ,NXS, NDIMRK, N1. IRl, NXSl, NDIMRl).

Параметры:

AO - матрица динамических параметров разомкнутой системы,

В - матрица коэффициентов усиления управляющих воздействий,

FIO, PSI - весовые матрицы, FIVAR - варьируемый элемент матрицы FI,

ЛЕЮ - индекс варьируемого элемента матрицы FI (по диагонали),

АОТ, ВТ - транспонированные матрицы АО, В, PSI1 - обращенная матрица PSI,

-XSP - вектор, содержащий элементы верхнего треугольника симмет-

ричной матрицы, EPS - точность,

IT - число итераций,

POPBR1 -• поправочный коэффициент в методе Ньютона, PRMT - вектор параметров для подпрограммы,

DERY - вектор производных в подпрограмме,

HTIME - шаг печати,

N - число координат состояния,

TR - число управляющих сигналов,

NXS - число алгебраических уравнений,

NDIiMRK - число дифференциальных уравнений,

N1 - максимальное число координат состояния,

IR1 - максимальное число управляющих сигналов,

NX91 - макоимальное число алгебраических уравнений,

NDIMRl - максимальное число дифференциальных уравнений.

Используемые стандартшые подпрограммы [53]: ARRAY - преобразование •одномерного массива в двумерный и обратно; MTRA - транспонирование матриц; MCPY - копирование всей матрицы; MINV - обращение матриц.

Назначение: решение системы нелинейных алгебраических уравнений мето» дом Ньютона.

Обращение: CALL SNENIB (X, N, FUNMN, EPS, IT, FD, FV, lERR). Параметры:

X - решение системы нелинейных уравнений,

N - число уравнений,

FUNMN - имя внешней подпрограммы,

EPS - точность,

IT - число итераций,

FD - выходной вектор производных левых частей нелинейных

уравнений по независимым переменным,

FV - выходной вектор значений левых частей нелинейных урав-

нений,

IERR - код ошибки: О - достигнута требуемая точность при заданном числе итераций; 2 - требуемая точность при заданном числе итераций ие достигнута.

Используемые стандартные подпрограммы [53]: MINV - обращение матриц, GMPRD - произведение двух матриц общего вида, GMSUB - разность двух матриц общего вида.

Подпрограмма FUNMN

Назначение: вычисление левых частей нелинейных алгебраических уравнений и их производных по независимым переменным. Обращение: CALL FUNMN(FD, FV, X). Параметры:

FD - вектор производных левых частей нелинейных алгебраических уравнений,

FV - вектор левых частей нелинейных алгебраических уравнений, X - вектор независимых переменных. Используемая подпрограмма: FUN.

Подпрограмма FUN Назначение: вычисление левых частей нелинейных алгебраических уравнений.

Обращение: CALL FUN (С, XS). Параметры:

С - результирующий вектор значений левых частей уравнений, XS - входной вектор независимых переменных.

Используемые стандартные подпрограммы [53]: MCPY - копирование всей матрицы, ARRAY - преобразование одномерного массива в двумерный и обратно, GMPRD - произведение двух матриц общего вида, GMADD - сложение двух матриц общего вида, GMSUB - разность двух матриц общего вида, LOG - вычисление индекса элементов матрицы, представленной в векторной форме.

Подпрограмма AANDD Назначение: вычисление матрицы коэффициентов обратных связей D и матрицы динамических параметров оптимальной системы Ао.