1. Если йг, i-i = 0, перейти к следующему значению i.

2. К t-му столбцу матрицы

[с о

прибавить столбцы 1, i-1 этой матрицы, умноженные соответственно на fli, г-1, аг-1,г-1.

3. Из строк 1, i-1 матрицы А вычесть t-ю строку, умноженную соответственно на ai,i-i,

В результате получим уравнения во второй форме Люенбергера. Например, для уравнений, первая форма Люенбергера которых имеет вид (1.19), вторую форму получим в виде (1.20).

1.3. ФОРМИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

При решении различных задач бывает необходимо перейти от заданной передаточной функции или структурной схемы к уравнениям состояния. Алгоритмы таких преобразований представлены ниже.

ФОРМИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Передаточная функция вида

W{p)i-t± (1.23) an р" + -}-ао

является операторным представлением линейного дифференциального уравнения

а„ -Ь ... + «о У = 6„ + ... + Ь, и. (1.24)

dP dt"

Передаточная функция называется правильной, если йпфО, и строго правильной, если a„0, bn = 0.

Для формирования уравнений состояния необходимо перейти от одного дифференциального уравнения порядка п к системе из п дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния. Поскольку выбор переменных состояния неоднозначен, существует множество способов перехода от уравнения (1.24) к уравнениям состояния. Здесь приведены лишь два, получившие наибольшее распространение.

Способ 1. Определим переменные состояния следующим образом:

Xn-i = Хп + an~iij--bni иау + an-\ij - bn u~bn-i и,

-bn-,----hu. (1.25)

Продифференцировав последнее уравнение и прибавив к обеим частям аоу-bou, получим

-1 + аоУ--о" = йп--+ --аоу-Ьп---г.. -Ьо« = 0,

d" dt

(1.26)

Из уравнений (1.25), (1.26) получим уравнения состояния, соответствующие дифференциальному уравнению (1.24) или передаточной функции (1.23):

Х\ = -ttoy + boU,

Х2 =xi -aiy + biu,

Хп=Xn-i~an-iy+bn-iU,

О =х„ -any+bnu. (1.27)

Правильную передаточную функцию можно представить в виде

W (р) = +-::± + Ь, (1.28)

где аг==а1ап; bi= (bi-aibn)/йп, t = 0.....n-1; bn = i>„/a„. В этом

случае уравнения состояния (1.27) могут быть представлены в нормальной форме Кощи:

= -aoXn + boU,

Ч =Ч -aiXn + bi и,

Хп = Хп~1 - а,1 1 Хп + Ьп-1 и, у =л:„ +bnU.

Способ 2. Переменные состояния определяем из уравнения an{dx/dt) + ... +аоХ=ы следующим образом: xi=x, Х2 = х, х„== = d«-x/dii"-. Кроме этого, вводим дополнительную переменную Xn+i=d"x/d". Тогда уравнения состояния примут вид:

Xi =Х2,

Хп -Хп+1,

u = aoXi + ... -(-anx„+i,

y==0Xi+ ... + bnXn+i.

Эти уравнения для правильной передаточной функции (1.28) могут быть представлены в нормальной форме Коши:

х„ = -floXi- ... -a„ ix„-t- и, y = boXi + ... + bn-l Xn + bn u.

Приведенные алгоритмы могут быть использованы и для формирования уравнений состояния систем, представленных передаточными функциями и имеющих несколько входов и один выход либо один вход и несколько выходов.

Для системы с несколькими входами и одним выходом вход-выходное соотнощение

У =--- (binP"+ - +Ь1о)щ.

апР +...+ао 1=1

Для такой системы формирование уравнений состояния следует выполнять первым способом:

Xi = -aoy + bioUi+ ... +femO«m, Л:2 = Х1 -aiy + bnUi+ ... +bmlUm,

Хй = Х„ 1-a„ if/ + bi,n-l«l+ ... +bm,n-lUm, 0 =Xn ~any + binUi+ ... +brnnUm.

Для системы с одним входом и несколькими выходами вход-выходные соотношения

г/г ---и, t - 1,..., /п.

апР" + ... + ао

Формирование уравнений состояния для такой системы следует выполнять вторым способом:

Xl=X2,

Хп - Хп+1,

u = aoXi+...+апХп+1, f/i = &ioXi+ ... -fbi„x„+i,

ym=bmoXl+ ... -\-bmnXn+\.

ФОРМИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ПО СТРУКТУРНОЙ СХЕМЕ

Рассмотрим структурную схему, типовые блоки которой заданы передаточными функциями вида (1.23) - динамические блоки и