мы. в действительности же далеко не всегда можно измерить все координаты вектора состояния. Поэтому для практической реализации законов управления вида (6.4) и (6.6) в структуру системы необходимо вводить алгоритмы оценивания неизмеряемых координат состояния, что не всегда оправдано. Большинство управляемых объектов обладают такими свойствами, что для их управления вполне достаточно формировать управляющие функции только по измеряемым координатам. Следовательно, для приложений представляются важными методики синтеза систем, оптимальных в смысле минимума функционалов вида (6.2) и (6.5) при условии, что управляющие функции вычисляются по неполному вектору состояния.

Известные результаты теории оптимального управления не позволяют получить аналитическое решение обсуждаемых задач. Поэтому построим алгоритмы, с помощью которых могут быть найдены параметры законов управления заданной структуры из условия реализации минимума функционалов (6.2) и (6.5).

С точки зрения реализации алгоритмическое решение обсуждаемых задач имеет самостоятельное значение. Справедливость этого положения обосновывается двумя обстоятельствами. Первое из них состоит в том, что задачи синтеза систем при неполной информации о состоянии управляемых объектов до сих пор не получили удовлетворительного решения аналитическими методами. Даже в тех случаях, когда такое решение удается получить в результате формальных построений, оно может быть доведено до реализуемой формы только после выполнения большого объема вычислений на ЭВМ. Так, в частности, обстоит дело с законами управления (6.4) и (6.6), параметры которых определяются из нелинейных матричных уравнений Риккати численными методами. Оказывается, искомые решения могут быть получены значительно быстрее, если для этой цели использовать специальные алгоритмы, ориентированные на применение цифровой ЭВМ. Именно такие алгоритмы мы рассматриваем.

6.2. УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И СТРУКТУРА АЛГОРИТМА

Обратимся сначала к задаче синтеза системы, оптимальной в смысле минимума функционала (6.2). Принимаем, что в системе имеет место неполная степень наблюдаемости, т. е. что измерению доступна лишь часть координат состояния управляемого объекта. Вектор измеряемых переменных обозначим, как и ранее:

z(0=Hx(0. (6.7)

Здесь Н - (Хи)-матрица, выделяющая из x{t) измеряемые переменные. Закон управления принимаем в виде

«(x)=cz(0=cHx(0, c=(c,C2...Cft). (6.8)

Параметры Cj будем отыскивать из. условия достижения минимума функционала (6.2) на движениях замкнутой системы из точки Хо в начало координат. Значения Cj, реализующие минимум Ци), будем называть оптимальными и обозначать c*j.

Рассматриваемая задача синтеза оптимальной системы при неполной информации о состоянии управляемого объекта изучалась А. А. Красовским [38]. Для искомых параметров в этой работе получены нелинейные алгебраические уравнения. Мы построим компактную численную процедуру решения системы (6.1), (6.8), удобную для реализации на ЭВМ. Применим общую схему, в соответствии с которой вместо функционала J{u) ра!ссматривается явная зависимость интеграла / от вектора искомых параметров с. Чтобы получить такую зависимость, используем тот факт, что решение X системы (6.1), (6.8) есть функция с, т. е. x=x(t, с). Учитывая это обстоятельство, разложим x{t, с) в ряд:

х( с) =x{t, СО) +r\{.t, с°)Ь+ 0 = 00 + 6, (6.9)

где о" - некоторое известное значение; б - малое приращение вектора параметров; r\{t, c°) = [dx(t, с)/о]в=о - («х4)-матрица чувствительности замкнутой системы

dx{t,c) (A+do-H)x(o)f (х, с). (6.10)

Допустим, что при 0 = 0" система (6.10) устойчива. (В дальнейшем это ограничение будет снято.)

Вектор-функция х(, с"), входящая в (6.9), характеризует состояние замкнутой системы и согласно (6.10) является решением дифференциального уравнения

= (А + Ьоо - Н) X {i, о»), X (О, о") = Хо. (6.11)

Ограничимся в (6.9) линейными членами, тогда для полного определения x(t, о) необходимо знать матрицу r\{t, с"). В соответствии с известными правилами матрица i]{t, о") может быть найдена из дифференциального уравнения, которое получается в результате дифференцирования обеих частей (6.10) по о при 6 = 0. С учетом принятых обозначений из (6.10) находим

dx(t, с) с) dxjt, с) af(x, с)

дс ~ дх(, с) дс + Эс l".!)

Справедливы равенства

!i = A + bcTH, lS=bxit,c)W.

dx{t, с) дс

Следовательно, из (6.12) при 6 = 0 находим

3ilL S!I = (A + boOH)Ti(, c<) + bxt, о»)Ш, Ti(0, св) = 0. (6.13)

Это уравнение определяет матрицу чувствительности замкнутой системы к изменению (параметров Cj закона управления.

Таким образом, зная вектор-функцию x{t, с") и матрицу ri(/, с"), можно записать приближенное выражение

x(t, c)x\i, c°)+n(i, 00)6. (6.14)

Подставив (6.14) в (6.8), получим управляющую функцию в виде

u(t, с)«с>-Нх( c°)+c°-Hr]{t, c<)b + b-4ix{t, с"). (6.15)

Выражения (6.14), (6.15) устанавливают явную зависимость х, и от параметров закона управления. Подстановка этих выражений в (6.2) позволяет найти искомую явную зависимость функционала / от 6. Выполнив такую подстановку и ограничившись линейными членами относительно 6, получим:

7(6)= [ [\\x{t, cO)+n{i, cO)bPv + (corHx{t, с«) +

+ c°-Hri(t, с«)6+бНх( c°))]dt. (6.16)

Здесь yIV=yFy.

Экстремальное значение 6, при котором достигается минимум /(6), определяется из уравнения d/(6)i/d6 = 0. Чтобы получить раскрытую форму этого уравнения, вычислим производную по 6 от (6.16) и приравняем ее нулю. Применяя формулу дифференцирования по вектору

<а(X)т> = Щ+ 4?.

установить справедливо»

glx+46l=2(x+T,6)VTi;

- (co46+6z) = 2(co46-b6z)(co4-bz), = Нг]; z = Hx. db

Следовательно, уравнение для 6=6 оказывается таким:

] h4t. c)Vt,( cO)+<f{t, сО)фМ c»)]6di=

= - J [ri4t, С) Vx(A с") +fi<p{t, c<)z4t, cO)c4tl (6.17)

где -мерный вектор,

(f(t, c°)=W{t, c>)ce + z(, c"). (6.18)

При выполнении преобразований, связанных с получением уравнения (6.17), учтено, что bW{t, с«)с< = стЧ(<, 00)6. Кроме того, в процессе преобразований выгаолнено транспонирование соответствующих выражений.

Таким образом, уравнение (6.17) определяет экстремальное значение 6, при котором функционал 7(6) достигает минимума для заданного значения 0=0". Последовательная минимизация 7(6) по 6 = 6, осуществляемая при

cs+i=cs + 6s, s=0, 1..... (6.19)

dk dk dk

можно установить справедливость следующих равенств: d