модели должен быть таким, чтобы за малый интервал Гц можно было провести необходимые вычисления. Обозначим ускоренное время т = /р Тогда уравнение (6.54) примет вид

+ pf{x*,H = 0, (6.55)

а выражение для V-функции (6.53) будет

V (X* (т)) = V, (X* (т)) + Р j Q (X*, рт) dx. Та = (6.56)

Обозначим через х*(т, Xt) решение уравнения (6.55) при начальном условии x()=xt, соответствующем состоянию управляемого процесса в начале интервала Гц. Аналогично через х*(т, \t + Ч-Сгбг) обозначим решенис (6.-55) при начальном условии х(0 + +ej6j=xt+ei6i, где Сг - вектор, имеющий все нулевые компоненты, кроме /-Г0, равного единице; б, - малые приращения. Соответственно этому через V(\t) и V(xt + ei6i) обозначим V-функции, вычисляемые по (6.56) при х*(т, Xt) и х*(т, х + Сгб,). В этом случае частные производные будут равны

dXi 6i

По этим значениям вычисляются управляющие функции Uj согласно (6.47), они принимаются постоянными для каждого интервала Гц.

При проектировании системы управления подлежат определению приращения начальных условий б,, интервалы Гд, а также масштаб по времени р для прогнозируемой модели.

Рассмотренный алгоритм управления может быть реализован либо на аналого-цифровых элементах, либо только на цифровых элементах (микропроцессорах). Рассмотрим основные соотношения алгоритма применительно ко второму варианту реализации. Принимаем, что интервал оптимизации t2-ti делится на равные отрезки длиной Г. В таком случае Г - период дискретности (квантования по времени). Далее будем считать, что для данного интервала 2-tl управления допустимо строить дискретную аппроксимацию дифференциальных соотношений с периодом Г по простейшей схеме, которая основана на формуле интегрирования по правилу трапеций. В таком случае вместо (6.55) будем иметь разностное (рекуррентное) соотношение

xl+x=xl-lHxUi,f>{k+l])+i{xi:m> k = 0,l,...,N, (6.58)

где Лц - число тактов (периодов) управления Г в интервале Т2-Гц. При этом момент времени Тц соответствует началу нового такта управления с номером ц. Для сокращения в (6.58) обозначено х*(йГ)=х*й. Начальные условия для (6.58) принимаются последовательно равными x*o=xt, х*о = Xt-1-6,6, (t= 1, 2, n).

функция У(х*(т)) вычисляется по формуле

V{xt)=V,iN)+S(N). (6.59)

Здесь Уз(Лц) = Уз(х*(т2)), при этом 5(jV„) определяется рекуррентным соотношением

S{k+l)=Sik) + (T/2) [Q(x4+i, P(A+1))+Q(x*,, р,)],

А = 0, 1, .... (6.60)

Начальное значение S{0) = 0.

Таким образом, алгоритм вычисления управляющих функций включает следующие операции.

1. Вычисление вектора x*(jVj,, Т) и скалярной величины V{xt) по формулам (6.58) - (6.60) при начальном значении х*(0) =

2. Вычисление x*(iV„, Г) и V(xt-fei6t) при вариации начальных условий по каждой координате x*i(0) =Xi{t) +6i (t= 1,2,re).

3. Определение частных производных V-функций по формулам (6.57).

4. Вычисление управляющей функции

u{t)=-KЪ(Xt)V{Xt) (6.61)

в соответствии с (6.47). Здесь K = diag(/fe2j), B{xt) = [Ьц{х, t)],

V:c(Xt)=dV{X, t)ldx.

Приведенный алгоритм соответствует случаю, когда использована простая схема аппроксимации дифференциальных соотношений. Аналогично можно получить расчетные формулы алгоритма, если интегрирование выполнять по другим формулам, целесообразность применения которых может быть обоснована в результате исследования конкретных математических моделей управляемых объектов.

Замечания. Выше рассмотрена возможность реализации алгоритмов управления яелинейными системами для терминальной задачи. Особенность ее заключается в том, что минимизируемый функционал содержит заданную функцию конечного состояния управляемого процесса Уз(х(<2)). Такие задачи часто встречаются в технических приложениях, например задачи посадки летательных аппаратов, управления транспортными технологическими операциями манипуляторов.

Аналогично тому, как это выполнено применительно к терминальной задаче управления, можно построить схему реализации управляющих алгоритмов, синтезированных по минимуму нетерминальных функционалов. Для этого можно использовать соотношения, вытисающие из теории А. Красовского применительно к этому случаю [39]. Необходимо отметить еще одну особенность рассмотренной задачи. Предполагалось, что собственное движение управляемого движения устойчиво. При таком условии F-функция удовлетворяет дифференциальному соотношению (6.51). Если управляемый объект собственно неустойчив, то оптимизацию системы следует проводить по нестационарному функционалу [39]. Однако форма расчетных соотношений, определяющая управляющие функции, в данном случае остается прежней. Следовательно, схема реализации алгоритма не меняется.

Наконец, отметим еще одно обстоятельство. При построении численного алгоритма вычислялись частные производные У-функции как проекции вектора-градиента на координатные оси х,, Хп. Можно непосредственно вычислять скалярные произведения вектора Vx{xt) на векторы эффективности управляющих воздействий {b\}...bnj) [39]. В таком случае достигается снижение вычислительной производительности, поскольку необходимо л.ишь m-f-1 раз осуществлять интегрирование уравнения прогаознрующей модели. Обычно же число управляющих функций т меньше размерности п вектора состояния управляемой системы.

ГЛАВА 7

ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ НАЗНАЧЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ

Дан краткий анализ существующих методов синтеза алгоритмов управления движения динамических систем. Отмечены их особенности и трудности практической реализации, которые обусловлены главным образом необходимостью шмербвия полного вектора состояния и числевиым решением нелинейных матричных уравнений относительно параметров синтезируемых алгоритмов. Дается также характеристика специальных алгоритмов синтеза, методическую основу которых составляют концепции Обратных задач динамики управляемых систем. Такой подход применяется для решения задач управления одномерными и многомерными системами. Рассмотрены вопросы сходимости вычислительных процессов параметрического синтеза, предложен специальный прием регуляризации алгоритмов, приведены результаты математического моделирования.

7.1. ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ

В последнее время в научной литературе уделяется много внимания вопросам разработки методов синтеза законов управления на основе концепций обратных задач динамики. В соответствии с таким подходом законы управления строятся из условия, чтобы движение замкнутых систем проходило по предписанным траекториям.

Аналитическое решение обратных задач динамики управляемых систем возможно в тех исключительно редких случаях, когда модель движения представляется линейными уравнениями, а для формирования управляющих функций используется полный объем информации о векторе состояния. Эти условия являются необходимыми и для методов теории оптимальных систем. На практике далеко не всегда можно непосредственно измерить все координаты, характеризующие состояние управляемой системы. Поэтому для реализации оптимальных законов управления в структуру системы необходимо вводить алгоритмы наблюдения, что не во всех случаях оправдано. Поэтому представляет интерес разработка приемов построения алгоритмов управления, реализация которых не требует знания всех координат вектора состо-