bit)

k(t}

Ait)

x(t)

C(t)

Наблюдаенай система

Tito)

Lit)

4(t]

Фильтр И a л май a - бьюси

Рис. 8.4

Пример. Рассмотрим задачу построения фильтра для оценки внешнего момента электродвигателя. Информация о величине моментов, действующих на системы управления, позволяет обеспечить высокое качество их работы. Линейную модель двигателя постоянного тока с независимым возбуждением можно описать системой дифференгщальных уравнений

О 1

LU, J

[«]; г/ = [1 0]

L -«а J

Здесь Xx = a.{t), Хг=(з.(1) - угловая скорость вращения и ртловое ускорение вала двигателя; u=Uh(0 - напряжение, подаваемое «а якорь двигателя;

021=-KnKlfLa, 022 = -Ra/La; Ь2 = Кк11Ья,

где Rn, La, Кк, /Сщ - электрические п электромеханические параметры электродвигателя; / - момент инерции ротора.

Из уравнения (8.43) получаем, что устройство оценивания описывается уравнением

«ад

где fi 1И ft должны быть выбраны так, чтобы обеспечить большую скорость убывания ошибки ш-за неверной установки начального состояния устройства.

Фильтр

Рис. 8.5

Собственные зиачевия матрицы динамических параметров устройства оценивания определяются соотношениями

1,2 =

h - 02»

2 - V 4

Положив, например, /2=021, получим два действительных собственных значения Я,1 = а22 н Л21=-fu Для обеспечения устойчивости фильтра следует выбрать fi>0. Здесь необходимо заметить, что построение малоннерцнонных фильтров вызывает определенные трудности, связанные с их большой чувствительностью к слабым изменениям динамических параметров наблюдаемой системы.

Структурная схема фильтра для рассматриваемого примера показана на рис. 8.5. Построенный фильтр позволяет оценить вектор состояния системы, т. е.

переменные a{t) н a{t), а нагрузочный момент, являясь величиной внешней,

может быть вычислен по формуле Л?вн=/а-1яКм, где »я - ток в якоре электродвигателя.

8.3. ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗМЕРЯЕМЫХ КООРДИНАТ СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРА ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА

Для получения наилучшей оценки координат состояния при отсутствии шумов в измерениях Люенбергер [96] предложил метод, который намного проще метода Калмана. Этот метод позволяет восстанавливать только требуемые переменные вектора состояния системы.

Рассмотрим линейную наблюдаемую стационарную систему, описываемую уравнениями

x(0=Ax(0 + Bu(0. х(о)=Хо; (8.44)

у(О = Сх(0, (8.45)

где х(0-я-мерный вектор состояния; u(i/)-г-мерный вектор управляющих воздействий; у() -т-мерный вектор выходных координат; А, В и С-постоянные матрицы размера пХп, пХг, тХп соответственно.

Предположим, что для оценивания состояния системы (8.44), (8.45) имеется линейное наблюдающее устройство (п-т)-го порядка, которое можно описать дифференциальным уравнением

.z(/) = Dz(0-fGu(/)+Ny(0, z(fo)-zo, (8.46)

где z{t) - (и-im)-мерный вектор состояния; D, G и N -матрицы размера (п-т)х (п-т), (п-т)Хг, {п-т)Хт соответственно. В этом случае матрица Т в уравнении (8.33) будет иметь размер In-т)Хп, и, следовательно, для нее нельзя вычислить обратную матрицу. Однако, если дополнить вектор z{t) вектором y{t) так, чтобы их компоненты были линейными независимыми комбинациями исходных переменных, то вектор x(f) можно найти с помощью только матричных операций.

Выполнив математические преобразования, проделанные в § 8.2, получим:

ТА-DT=NC; (8.47)

G=TB. (8.48)

Уравнение (8.39) для стационарной системы (8.44), (8.45) примет вид

z(0-Tx(0=eD [z(/o)-Tx(/o)]. (8.49)

Оценку X вектора состояния исходной системы будем искать - в виде

x=Lz+My, (8.50)

где L и М -матрицы размера пХ (п-т) и пХт. Потребуем выполнения равенства х=х, т. е. выполнения условия

x=LTx+MCx=(LT+MC)x. (8.51)

Из (8.51) следует

LT+MC=I, (8.52)

где I - единичная матрица. Элементы пяти неизвестных матриц D, G, N, L и М, определяющих параметры фильтра, связаны между собой тремя уравнениями (8.47), (8.48), (8.52). Следовательно, они могут быть выбраны до некоторой степени произвольно. Получающаяся при таком подходе структурная схема фильтра пониженного порядка представлена на рис. 8.6.

Следует отметить, что фильтры пониженного порядка могут применяться при синтезе замкнутых систем управления по неполному вектору состояния.