в результате решения различных модельных задач установлено, что при выполнении синтеза системы достаточно контролировать степень колебательности процесса и перерегулирование по управляемой переменной. Для определения параметров закона управления, при которых реализуются необходимые требования к процессу, можно предложить эвристическую и оптимизационную процедуры. Рассмотрим вначале первую из них.

Задачу формулируем следующим образом. Требуется найти параметры Ci, п закона управления, определяемого передаточной функцией Wy{p), из условия, чтобы переходная характеристика h\t) замкнутой системы имела перерегулирование о не более заданного значения а*.

Искомые параметры можно найти по схеме прямого поиска, которая основана на выполнении следующих операций:

1. Задание начальных значений коэффициентов ds = d°s и формирование вектора i в уравнении (7.94).

2. Решение уравнения (7.94) относительно коэффициентов Си ri.

3. Моделирование замкнутой системы и анализ процесса й =

= h{t, ds).

4. Повторение процедуры при новых значениях ds+Ads, если требования к процессу не выполняются.

Практически удобно полином D{p) задавать с помощью подходящего распределения его нулей Рь Ргп- Тогда коэффициенты da однозначно определяются через р,- по формулам Виета. Начальные значения p°j можно назначать заведомо такими, чтобы для контролируемого параметра (в данном случае перерегулирования) выполнялось условие a><j* или a<i0*. Это позволяет направленно изменять коэффициенты ds, изменяя р,.

Обсуждаемая процедура особенно удобна для ее реализации в диалоговом режиме работы с ЭВМ. При этом динамику синтезируемой системы можно контролировать не только по а, но и по времени (переходного процесса, степени колебательности и др.

Требуемые параметры закона управления могут быть найдены в результате решения задачи оптимизации. Сформулируем ее следующим образом. Пусть траектория движения эталонной системы определяется уравнениями

х*(0=Ох*(0-Ье„Хвх, х*(0)=х*о; х*(t) =qx*(t). (7.97)

Параметры этой системы таковы, что x{t)-Xsx при t-oo, а ее динамические свойства отвечают требованиям синтезируемой системы:

X,z=Xs+u s=l, 2, .... п-\, n-l

JC„ = - S + и,

x=boXi + biX2+ ...+bn-iXn; (7.98)

«3 = Ws-hl.

ы„ = - 2 U{+i + e, e = x-x,

" = Го Ui+ Tl «2 + ... + Гп-l «„.

При нулевых начальных условиях и л:вх=1(0 решением (7.97) будет переходная характеристика h*(t), а решением (7.98) - переходная характеристика h = h{t, с, г). Тогда задача отыскания параметров С{, п сводится к наилучшему в некотором смысле приближению h{j,, с, T)-h*{t). Назначая соответствующий функционал, записанный относительно отклонения Ah=h*-h, задачу его минимизации по с, г можно выполнить с помощью известных алгоритмов [64].

7.6. УПРАВЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ

Пусть движение управляемой системы подчиняется дифференциальному уравнению

х(0 =Ах(0 -ЬЬм(0 +gW)- (7-99)

Здесь, как и ранее, х - «-мерный вектор координат состояния; и - управляющая функция; g(0 - случайная функция, которая представляет собой белый шум с нулевым математическим ожиданием

Щт]=0, M[g(0i(T)]-a6 mit-x). (7.100)

Величина ag (т) характеризует интенсивность шума и может быть переменной во времени. Принимаем, что параметры системы - матрица А и векторы Ь, g - заданы.

На движениях системы (7.99) имеется возможность измерять координаты z*i.....z*h вектора

z*(0=Hx(0. (7.101)

При этом kn. Измерения осуществляются со случайными погрешностями т]1, r\k, так что показания измерителя равны

7(0 = Нх(0+л(/). л=(1-)- (7-102)

Относительно т],(0 предполагается, что они обладают следующими свойствами:

М[т1(0]=0. М[г](Ол(т)] = Рг,(Об(<-т). (7.103)

Матрица Р,, размера kXk характеризует интенсивность помехи t\it) и в общем случае зависит от времени. В соответствии с (7.101) -(7.103) вектор z* (t) =M.[z{t)]. Здесь и далее символ 1) применяется для обозначения математических ожиданий соответствующих переменных.

в дальнейшем условимся о том, что случайные процессы %{t) и i\{t) статически независимы. Это допущение соответствует многим прикладным задачам.

Уравнение (7.99) будем рассматривать как модель возмущенного движения. В таком случае задача управления заключается в том, чтобы удерживать систему в окрестности начала координат x{t)0. Модель (7.99) отличается от ранее рассмотренных наличием возмущающего случайного воздействия l(t). Погрешность измерений tji, i]h также выступает в роли возмущений: случайная составляющая управляющей функции, вычисляемой по Zi(0, -. Zh{t), наравне с полезным сигналом воздействует на вход системы.

Будем различать два режима управления: возмущенный по математическому ожиданию, если х* (t) =M.[x{t)]ФO, и невозмущенный, если x{t)=0. Практически режим управления можно считать возмущенным, если значения \x*iit) \ существенно превышают принятый уровень случайных составляющих координат вектора состояния. Если же имеет место обратное соотношение, то режим управления можно считать невозмущенным. Понятно, что для обеспечения высокого качества работы система должна иметь различные динамические характеристики, соответствующие различным режимам ее функционирования. Для возмущенного режима естественно закон управления синтезировать из условия осуществления назначенной траектории движения по математическому ожиданию из точки х*(0) в начало координат. Тогда в невозмущенном состоянии закон управления должен обеспечивать движение управляемого объекта в возможно меньшей окрестности начала координат. Таким образом, параметры закона управления следует определять по различным критериям.

Закон управления принимаем в виде

ы = с2(0 =сНх(0 +сг](0. (7.104)

Параметры (Ci, Ch) = c подлежат определению. Запишем уравнение замкнутой системы для математических ожиданий. С этой целью представим вектор состояния в виде суммы математического ожидания x*{t) и центрированной случайной составляющей

x{t). Аналогичное представление применяем и для управляющей функции. Тогда будем иметь

x{t)=x*{t)+°xit); u{t)=u*it) + °u{t).

С учетом принятых обозначений уравнение замкнутой системы для математических ожиданий будет

х*(0=Ах*(0-ЬЬы*(0; ы*(0=сНх*(0, (7.105)

для центрированных случайных составляющих

= Ах (О + bu{t) + g I (t), ы = с- Нх (О + (t). (7.106)