На начальном этапе работы системы для организации вычислений необходимо в уравнении (8.94) вместо y{Q), y{k-\) подставить измеренные значения z(0), z{k-1). В этом случае

[D(/?) = D при q = p.

Rl(p. q)

(8.95) О при q¥=p-

На последующих тактах оценки следует вычислять в соответствии с соотнощениями (8.91), (8.92) и (8.94) при начальных условиях (8.95).

Пример. Пусть разностное уравнение системы есть

у(п) =ау{п~1) +Ьи(п-\). Тогда в соответствии с (8.94)

у{п) = [1-д{п)](ау(п-1) + bu(n-l)) +9in)z(n). Поэтому случайная составляющая ошибки оценки

Ш = и-Р(п)]а1 ) +р (п) V (rt), и, следовательно,

О g (п) = [ 1-р (rt)] (rtl) -f-p(rt)D. (8.96)

Ha основании этого равенства находим оптимальное значение

p(rt)=a2Dg(rt-l)/[a2Dg (n-\)+D]. (8.97)

Принимая во внимание, что D(0)=D, из (8.96) и (8.97) получаем окончательные выражения

(п \ -I

l-f2a2<j ; D (п)п,1п = р (n)D, (8.98)

4=1 /

позволяющие определить необходимые характеристики фильтрации.

В заключение отметим, что изложенная методика допускает обобщение на многомерные системы.

8.6. ОЦЕНИВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Необходимость оценивания начального состояния возникает в системах различного назначения. Современные технические средства позволяют с высокой точностью решать подобные задачи на основе использования нелинейных моделей. В этом разделе излагается методика построения алгоритмов оценивания начального состояния, основанная на применении теории чувствительности динамических систем по состоянию.

Пусть движение системы подчиняется дифференциальному уравнению

х(0=/( X), х(М=Хо, (8.99)

где х - л-мерный вектор фазовых координат; f{t, х) - известная нелинейная вектор-функция, характеризующая динамические свойства объекта, непрерывная по х и в некоторой замкнутой об-

ласти по x удовлетворяет условию Липшица. Пусть в процессе движения системы можно измерять координаты у, (/=1, 2, ...,т<: <:«) некоторого функционально связанного с х вектора

у(т) = Н{т)х(т), (8.100)

где Н(т) - известная (тХ л)-матрица, определенная конструкцией измерителя. Требуется найти разрешающие операции (алгоритм наблюдения), вычисляющие начальные значения координат (v=l, 2, п) по измерениям у(т) при от. Поскольку по условию т<п, то по уравнению (8.100) нельзя непосредственно определить искомые координаты. Построив, однако, алгоритм вычисления Хо на основе сравнения измеряемой

у(т) и прогнозируемой у (т) вектор-функций, эту трудность можно обойти, если у(т) выразить через начальные значения всех координат Ху, (to). Для этой цели воспользуемся понятием чувствительности динамических систем по начальным условиям.

При сделанных предположениях относительно f(t, х) интегральная кривая х(т, Хо), соответствующая (8.99), однозначно определяется вектором Хо и в силу известной теоремы о существовании производных по начальным условиям может быть представлена с точностью до членов второго порядка малости в следующем виде:

х(т, х*о + 6Хо)х(т, x*o)-+-W(t, о)бхо, (8.101)

где х*о = Хо-бхо - некоторый известный вектор; х(т, х*о) - решение уравнения (8.99) при Хо = х*о, а матрица

дх (т, х„)

W(t, o)=KuK Q] =

дх {to)

,v,n=l,2, ... , n,

размера nXn имеет в качестве своих элементов функции чувствительности первого порядка системы (8.99) по начальным условиям. При этом W(t, о) удовлетворяет матричному уравнению

W(t, to)=fx[x, х(т, x*o)]W(t, о),

W(/„, g=l; f,[t,x(T,x;)] =

й/,(х.х)

(8.102)

которое получается дифференцированием (8.99) по Хо с учетом того, что х=х(т, Хо).

Будем считать, что W(t, о) определяется в результате интегрирования (8.102). Тогда, пользуясь (8.100) и (8.101), можно найти

у(т)=Н(т)х(т, x*o)+H(t)W(t, о)бХо, о<т<1. (8.103)

Отсюда следует, что в первом приближении равенство у(т)=у(т) возможно только в том случае, когда х*о = Хо. Так как в соответствии с (8.101) Хо = х*о-Ьбхо, причем х*о априорно задается и яв-

ляется известной, то задача вычисления начального состояния сводится к отысканию поправки бхо.

Искомое значение бхо может быть найдено в результате наилучшего в некотором смысле приближения вектор-функции у(т) к у(т). Чтобы построить алгоритм, удобный для реализации на

ЭВМ, в качестве меры близости кривых у(т) и у(т) будем использовать функционал

Q (б Хо) = 5 [у i-j) - у (ъ)Г [у (у) - у (у)] =

= 2 II Н (Т;) X (Т;, х;) + Н (Xj) W (Т;, f„) бХ„-у {Xj)\\\ N > П.

(8.104)

Здесь Xj - различные значения т на отрезке /от. Условия минимума Q(6xo) по бхо для выбранного хо=х*о имеют форму нормальной системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:

2 G(-t. QG{xj, <,)6Хо =

= 2 0- (т;, g [у (ту)-Н (т) х(т;, х;)], (8.105)

где (тх л)-матрица

G(Tj, fo) = H(-t;)W(Tj, /о). (8.106)

Решением матричного уравнения (8.105) является экстремальное значение бхо, такое, что новый начальный вектор x*oi = =х*о + бхо наилучшим образом в смысле минимума (8.104) приближает вычисляемую вектор-функцию у(т) к измеряемой у(т).

При сделанных предположениях относительно уравнения (8.99) наблюдаемой системы оценку вектора Хо можно получить сколь угодно точно путем многократного решения линейного уравнения (8.105), формируемого каждый раз для вновь найденных оценок

x*os = x*o,.-i-f6xo.s-i, s=l, 2, ... (8.107)

Алгоритм вычисления начального состояния будет следующий:

1. Интегрирование уравнения движения (8.99) при начальном условии X*os.

2. Вычисление матрицы чувствительности W(t, о) в результате интегрирования уравнения (8.102) при х=х(т, x*os).

3. Формирование матрицы С(т, to) согласно (8.106).

4. Формирование правых частей в (8.105).

5. Решение алгебраического матричного уравнения (8.105) относительно искомого значения 6xos.

Для динамической системы с указанными свойствами справедливо предельное соотношение lim x*os = Xo, при этом x*os вы-

S-»oo