ме. Система (А, В, С) называется дуальной к системе (А, В, С), если

А=Ат В = С С = В.

(1.18)

Управляемая каноническая форма является дуальной к наблюдаемой канонической форме дуальной системы, и ее получение может быть выполнено в следующей последовательности:

1) переход от исходной системы к дуальной по формулам (1.18),

2) приведение полученной дуальной системы к наблюдаемой канонической форме (А*, В*, С*),

3) получение управляемой канонической формы исходной системы (А*, В*, С*) как дуальной системы к системе (А*, В*, С*).

Приведем примеры наблюдаемых канонических форм Люен-бергера. Первая форма

С* =

А* =

(1.19)

(1.20)

Здесь крестиками обозначены ненулевые элементы матриц.

Дуальные к (1.19) и (1.20) системы будут примерами управляемых канонических форм Люенбергера первой и второй соответственно.

Алгоритм преобразования уравнений к первой наблюдаемой канонической форме Люенбергера

Приведение уравнений к канонической форме будем производить, последовательно выполняя преобразования вида (1.17). В качестве матриц таких преобразований будем использовать элементарные матрицы вида

(1.21)

hi hi+i 1

(1.22)

Для удобства дальнейшего изложения объединим матрицы коэффициентов системы в одну:

Приведение к канонической форме начнем со строки 1 матрицы С. Выберем наибольший по модулю элемент этой строки. Пусть это будет C\j. Поменяем местами столбцы 1 и /, а затем

строки 1 и / матрицы А, что эквивалентно преобразованию (1.17) с матрицей (1.21) при t = 0. В результате наибольший по модулю элемент строки 1 матрицы С окажется на месте Сц. Теперь умножим строку 1 матрицы А и разделим столбец 1 этой матрицы на

Сц. После этого к строке 1 матрицы А прибавим строки 2, п этой матрицы, умноженные соответственно на Си, Сщ, а из

столбцов 2, я матрицы А вычтем столбец 1, умноженный соответственно на Ci2, Сщ. Эти действия эквивалентны преобразованию (1.17) с матрицей (1.22) при г = 0; /zi=l/cu, hk = Cih/cn, k = = 2, я. В результате выполнения указанных действий строка 1 матрицы С примет вид 1 О ... 0. Заметим, что перестановки столбцов и строк необходимы не только для выбора ненулевого ведущего элемента, но и для обеспечения устойчивости вычислительного процесса.

Далее будем преобразовывать строки матрицы А, начиная с первой. Приведение i-й строки к требуемой форме будем производить после того, как к такой форме уже приведены строки 1, ...

i-1. При этом среди элементов flj, ш, Щп найдем максимальный по модулю, после чего переставим столбцы и строки так, чтобы этот элемент оказался на месте аг,ж- Затем выполним преобразование (1.17) с матрицей (1.22), приняв Aft=l/ai, t+i при k = = t+I и hk = aiklai,i+i при кф1-\-1. В результате элемент Oi,i+i станет равным единице, а все остальные элементы г-й строки матрицы А будут нулевыми.

Если на очередном шаге преобразования матрицы А все элементы йг, г+1, Clin равны нулю, ТО ВЫПОЛНИТЬ вышеуказзнные действия невозможно. В этом случае переходим к преобразованию очередной строки матрицы С. Последовательно просматривая строки матрицы С, начиная с первой, найдем такую (пусть это будет

k-a строка), в которой хотя бы один из элементов Ck,i+i..... Ckn

не равен нулю. Затем, аналогично тому, как это выполнялось выше, выполним преобразование (1.17) с матрицами (1.21), (1.22) так, чтобы эта строка приняла вид 0...0 1 0...0, где единичный элемент находится в (t-f 1)-м столбце. После этого перейдем к преобразованию очередной (t-H)-ft строки матрицы А.

Заметим, что на очередном шаге может оказаться, что все элементы, находящиеся правее t-ro столбца в t-й строке матрицы А и во всех строках матрицы С, равны нулю. В этом случае система ненаблюдаема, и дальнейшие преобразования выполняются только над строками матрицы А.

Приведение к канонической форме завершается при i = n-1. В результате для произвольной строки матрицы А имеем либо aij = = 0 при 1ф1+ \ и ац= \ при j = i + \, либо аг, = 0 при />-t. Структура матрицы С определяет наблюдаемость.

Чтобы обеспечить устойчивость вычислительного процесса и предотвратить переполнение при делении на малый ведущий элемент, следует ограничить снизу модуль ведущего элемента. Для этого можно задаться малым числом е и принимать любой элемент-равным нулю, если его модуль «е превышает е.

Алгоритм преобразования уравнений в первой форме Люенбергера ко второй форме

Имея уравнения в первой форме Люенбергера, несложно получить уравнения во второй форме. Для этого следует сначала изменить порядок следования строк матриц А, В и столбцов матриц А, С на противоположный, что эквивалентно преобразованию (1.17) с матрицей

l1 .

После этого для 1 = 2, п выполним следующие действия: 14