числяется по (8.107). Достаточная для практики точность оценивания начального состояния достигается после выполнения небольшого числа циклов, поскольку алгоритм обеспечивает высокую скорость сходимости оценок.

Пример. Рассмотрим задачу оценивания параметров движения тела по орбите в плоскости экватора Земли в центральном силовом поле. Дифференциальные уравнения движения для этого случая в невращающейся геоцентрической системе декартовых координат имеют вид

х,=х2, xr,=-XiR-\ x3=Xi, Xi=-xzR-\ i?=VA:i4*3 (8.108)

где p определяется постоянной тяготения и значениями соответствующих масс. При математическом моделировании принималось, что измеряемыми координатами являются Xi и Хз. Такой ситуации соответствует матрица

10 0 0 0 0 10

требуется вычислить все компоненты вектора Хо=х(/о) по измерениям

(/l(T)=*i(T), У1!{1)=Хз(х).

В рассматриваемом случае функционал (8.104) имеет вид

Н(т)=.

Q (бх„) = 2

2 \JXi,to)bx-Ax,(xj)

2 w (Tj,t,)6x -Ax,{xj)

(8.109)

где AA;,(Ti)=Xi(Tj, xoY-Xiixj, x*o); X3{xi)=X3{xi, Хо)-Хз{хи x*o). Минимум (8.109) достигается прн бх.д, являющихся рещениями алгебраических уравнений

2 %,Ко = К 1=1..... 4.

= 2 [«, (т;, to) (Ti, o) + яа (J- o) (xj, to)];

(8.110)

6a = 2 [Aai iv) (-h tb) + Ддз (Xj) w {Xj, to)].

При этом функции чувствительности w, определяются в результате интегрирования дифференциального уравнения (8.4), где матрица

f«[T, Х(Т, Х*о)] =

о 10 О

-Pi?-0

ЗРд:* 4 R-

о -I

Здесь д:* =л; (т, х*о), а величина R, вычисляется по (8.108) при х =х

Таблица 8.1

Для начального вектора х*о, априорно заданного в вычислительной схеме С ошибками 8х{0)=бхз{0)=Ж км, бл:2(0) =6x4(0) =700 мс-, координаты хь Хз, характеризующие положение тела на орбите, определяются с точностью до десятков метров после одного цикла работы алгоритма. Точность вычисления составляющих скорости движения иллюстрируется данными табл. 8.1. Приведенные результаты свидетельствуют о высокой эффективности алгоритма, характеризуемой большой скоростью сходимости оценок и значительными размерами области устойчивости вычислительного процесса.

8.7. НАБЛЮДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ АЛГОРИТМА НАБЛЮДЕНИЯ

Пусть движение системы подчиняется дифференциальному уравнению i

x(0=F( i, х), х(Ь)=Хо, (8.I1I)

где X - л-мерный вектор фазовых координат; Р( х)-заданная нелинейная вектор-функция, характеризующая динамические свойства объекта. На движениях x(t, хо) измеряются координаты .Уц(0(ц=1. 2, тп) некоторого функционально связанного с x{t) вектора

у(0=Н( х)+т> (8.112)

где Н {t, х) - известная нелинейная вектор-функция, определенная конструкцией измерительных устройств; (() - погрешности измерения.

Предполагается, что Р( х) и H{t, х) аналитичны по х при любом >io. Погрешности измерения случайны, имеют нормальное распределение и таковы, что М[(/)]=0. Матрица вторых моментов N(0 =М [1(01(01 известна.

Требуется при оговоренных условиях найти разрешающие операции, вычисляющие по у (О наилучшие в некотором смысле оценки (t) координат движения х (;/)(v=l, 2, ..., п). Совокупность искомых разрешающих операций будем именовать, как и ранее, алгоритмом наблюдения.

Алгоритмы наблюдения линейных систем синтезируют из условия получения несмещенных оценок при минимальных значениях их случайных составляющих. Для нелинейных систем в общем случае нельзя реализовать условие несмещенности. Поэтому

при решении рассматриваемой задачи потребуем, чтобы искомый алгоритм наблюдения обеспечивал точное вычисление оценок координат движения {x{t) =x(t)) при отсутствии погрешности измерения (1(0=0). Если %{1)Ф0, математические ожидания оценок не должны существенно отличаться от истинных координат, а их случайные составляющие должны быть в некотором смысле минимальными.

Справедлив следующий результат: если при сделанных предположениях относительно свойств объекта и измерителя движение системы

v(0 = [F.( х)-К(ОН.( x)]v(0,

F(;,x)= rLll ; HJt,x)= lAILAl (8.113)

х(Лх„)

асимптотически устойчиво по Ляпунову, пара Fxit, х), Hxit, х)

вполне наблюдаема, то оценка x{t), определяемая дифференциальным уравнением

= F{t,x) + K{t)[y{t)~H(t,k)\,xit,) = x„ (8.114)

при 1(0=0 обладает свойством lim x{t)-x(t) для х(о), до-

статочно близких к х(о).

Доказательство этого положения опирается на результаты теории устойчивости и может быть построено на основе теоремы, сформулированной в [38].

Как следует из приведенных условий, здесь рассматривается случай когда линеаризованные уравнения движения исследуемого объекта совместно с линеаризованными уравнениями измерителя образуют вполне наблюдаемую систему. Для объектов с иными свойствами задача наблюдения может решаться на основе построения специальных процедур.

Итак, принимая уравнение (8.114) за основу алгоритма наблюдения рассматриваемой нелинейной системы, необходимо должным образом выбрать параметры Ку,а (О матрицы К (О- При выборе К (О будем различать возмущенные и невозмущеиные режимы наблюдения. Возмущенный режим характеризуется существенными отклонениями математического ожидания х(0=М[х(0] от х(0 по сравнению с уровнем случайной составляющей оценки. В этом случае К (О будем выбирать из условия, чтобы величина

бх(0=х(0-х(0 с течением времени возможно быстрее стремилась к нулю. В возмущенном режиме наблюдения, напротив, ошибки dxit) =x~Xv (О незначительны и решающее влияние на точность оценок оказывают погрешности измерения. Поэтому для певозмущенного режима параметры (t) следует выбирать

из условия достижения возможно меньших значений случайных составляющих оценок.