2. Интегрирование уравнений чувствительности (8.122).

3. Вычисление 6К<> согласно (8.127) и (8.128). При joo К<)-К, при этом имеет место квадратичная скорость сходимости.

Отметим существенное обстоятельство, которое необходимо-учитывать при построении практических алгоритмов. Сходимость последовательности К<*, К<\... обеспечивается, если значение-КС достаточно близко к К. Выбор подходящего К" представляет собой самостоятельную задачу, поэтому численную процедуру определения параметров алгоритма наблюдения желательно строить так, чтобы ее применение не было связано с необходимостьк> специального вычисления К".

Процедура, отвечающая этому условию, основана на минимизации функционала /(6К<) для последовательно увеличивающихся интервалов времени [о, to-\-bt], 6i<62,..., причем to-\-6ti< <ti. Эта процедура состоит в следующем.

На первом интервале [о, o--6i] начальное значение матрицы искомых параметров принимается равным нулю К< = 0, а значение выбирается таким, чтобы определитель матрицы Ф(К<°)) = Ф(0) при 0+61 существенно отличался от нуля. Практически 61 оказывается приемлемой, если А= (50 ... 70)/г, где h - шаг интегрирования уравнений. Допустимое значение может определяться алгоритмически в процессе интегрирования соответствующих уравнений. При выбранном 8ti осуществляется последовательное вычисление К> в результате выполнения операций 1-3. При этом верхний предел интегрирования в (8.128) принимается равным to-\-bti. Пусть при /=71 какая-либо подходящая норма IIК-К<"<е, что означает достижение заданной точности приближения. Индекс 71 означает, что К соответствует первому интервалу (р=1). Задавая для второго интервала [о,.

значение К<> = К< и выполняя операции 1-3, найдем K<v=)j при котором II К(г)-К("<е. Величина 62 может быть принята, например, равной 26i. Продолжением этого процесса для интервалов fo, to-\-bt] (р = 3, 4,...) обеспечивается решение исходной задачи минимизации /(К).

Рассмотренный алгоритм обладает определенной компактностью и легко реализуется в ЭВМ. Построением процедуры вычисления параметров Kvh исчерпывается задача параметрического синтеза алгоритма наблюдения в возмущенном режиме. .

Рассмотрим теперь невозмущенный режим наблюдения, характеризуемый незначительными динамическими составляющими ошибки по сравнению со случайными составляющими. Параметры Куц (О для возмущенного режима найдем из условия

Q( K)=M[x(OBx(0]=min,

где В - любая неотрицательно-определенная матрица, а x{t) - центрированная случайная составляющая оценки, определяемая дифференциальным уравнением (8.116).

Значения параметров, при которых достигается минимальное значение, будем называть оптимальными (для невозмущенного режима) и обозначать Ку,ц (0=w (0. отмечая символом а тот факт, что при К(0 = КЧО имеет место минимум средиеквадратических ошибок (oia2 On)=o{t). Можно видеть, что определение К") составляет содержание задачи Калмана. Поэтому можно записать искомое решение в рассматриваемом случае:

КС) (О = D (г) Н1(0 N-1 (0. b (О = F. (О D (О + D (О Fl(0-

-D (t) W it) N- (0 H(t)D (t). (8.129)

X ic

о о

Здесь D(0 = M[x(Ox()] - корреляционная матрица оценок, а матрицы H;(0 = [H, X) F; (0 = [F.( х)]-.

Таким образом, задача наблюдения нелинейной динамической системы в рассмотренной постановке решается с помощью алгоритма, основу которого составляет уравнение (8.114). При этом параметры Кц (t) должны выбираться различными для возмущенного и невозмущенного режимов наблюдения. Для распознавания режимов наблюдения можно использовать приемы, аналогичные рассмотренным в § 8.4.

Пример. Особенности процесса наблюдения в возмущенном и невозмущеи-«ом режимах проиллюстрируем на примере системы

x(/)=F(;, X), х=(х, Xi), x{t)

F(x) =

p., u)>0, (8.130)

описывающей движение инерционной массы, укрепленной на жесткой пружине. Восстанавливающая сила пружины изменяется нелинейно в зависимости от отклонения массы от положения равновесия. Пусть можно измерить координату Xl, так что y(/) = Hx(;)-f(/), Н=[! 0]. В соответствии с (8.114) алгоритм «аблюдения имеет вид

=F((,x)-l-K(0 iy(0 -Нх(0],

KHt) = [Kn(t)K2i{t)].

Для возмущенного режима выберем К(0=К таким, чтобы для каждого t>ta линейная система

" = [F;c ( X) ~ К (О Н] бх (О, (8.131)

F,(/, х) =

Зцх2 (0-102 1

аналогичная (8.115), совпадала с эталонной системой

П1(0=П2(0=-РгтЛО-Р22Т12(0. Р2\, P22 = const. (8.132)

Из сравнения (8.131) и (8.132) имеем

Яи(0=Р22, Я21(0=Р21-3nxi2(0-О). (8.133>

Уравнение для центрированной случайной составляющей оценки:

= [F ( Jt) - к (О н] X (О + к (О I (0.

(8.134>

Поэтому в соответствии с (8.129) оптимальные параметры для иевозмущеииогс режима определяются следующим образом:

[11 (О

КС) (0 = D(0 нт П7,

D (/) = F . (/) D (/)-f D (О (/) - D (t) Нт HD (/) пГ/ •

(8.135>

Здесь Ли - интенсивность погрешности измерения

На основании (8.134) можно записать уравнение для матрицы вторых моментов D(() при К(0 = К(0- Имеем

D (О = S (О D (О + D {t) ST (/) - К (О К (О "11 S (О = (/, X) - К (О Н.

(8.136>

Перейдем к обсуждению результатов математического моделирования процесса наблюдения рассматриваемой системы. На рис. 8.9 непрерывными линиями показаны математические ожидания ошибок bxi, 6X2 оценивания координат xi, хг- Приведенные-зависимости соответствуют случаю, когда параметры алгоритма наблюдения вычисляются согласно (8.133). Расчеты выполнены при \i=\ и (0 = 2 с~. Кроме того, принято P2i = 12, р22 - 7, что обеспечивает затухание процессов в эталонной системе за 2 с. Как следует из рис. 8.9, продолжительность переходного процесса оценивания математических ожиданий координат изучаемого-движения около 2 с. Здесь же показаны математические ожидания ошибок наблюдения Axi, Ax2, рассчитанные также для возмущенного режима (штриховые линии). Однако в отличие от 61, 6x2 эти зависимости соответствуют случаю, когда параметры алгоритма Кп, к21 выбираются согласно (8.136); К(0 = = К("(0- В этом случае пе-

Рис. 8.9

Рис. 8.10