7«"

V2V/

Выполняя указанные действия, используя равенства (10), (lO) и сокращая на общий множитель (с-\-\)/г* = е-*{с"-\-\), мы получаем уравнение

V 1(с2 +1) Л V + 4cF" -AF\ + aF" + 2FF = 0. (И)

натах соотношении (г, Q) = (е\ в) посредством преобразования (7) при а = - Я, получаем соотношения

V{e\ b)-V(e\ а)=И(1. b-ck)-V(\, 0) = F(x). х = в-а.

По той же причине в случае автомодельных относительно группы (7) течений равные изменения Я, вызывают равные изменения V{e, ск); поэтому V(e, ck) = cik-\-b есть линейная функция от к. (Постоянная b Не влияет на скорость, и ее можно положить равной нулю.) Комбинируя этот результат с соотношением (8), мы получим формулу

V(r. e) = aX + F(x). X = Inr, х = 9-сХ. (9)

Согласно этой формуле, течение определяется произвольной постоянной а и функцией одной переменной F. Наиболее интересен случай, когда линии тока - спирали, т. е. когда а = О в формуле (9).

Как и раньше, мы сделаем подстановку в дифференциальное уравнение общего вида (6); далее следуют выкладки. В общем виде получается уравнение

"-(+). 00)

откуда, в силу формулы (9), W = e-"(,c"-\-\)F. Снова дифференцируя, получаем следующие уравнения:

(V2V0 =-е- (с2+1) \cF"+2F\,

l(VW) = e-(c"-\-\)F".

Из формулы, дающей отношение площадей в якобианах, д1д(х, у) = г"д/д(к, S) следует, что уравнения Навье -Стокса (6) эквивалентны уравнению

§ 82. Пограничные слои у клиньев 165

Это и есть обыкновенное дифференциальное уравнение, полученное Озееном); трудно найти другой столь же простой его вывод. С помощью подстановки G = F можно придать уравнению (11) несколько более привлекательный вид; кроме того, оно удовлетворяется всегда, когда F" = 0. Во всяком случае, решения можно получать численным интегрированием.

§ 82. Пограничные слои у клиньев

Рассмотрим теперь задачу интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя в случае стационарного плоского течения; они уже были приведены в § 27. Эти уравнения имеют вид

ди , ди du , ди ди , dv

а краевые условия таковы:

u = v = 0 при у=0, х>0 (13)

lim и{х, у) = «(х). (13)

у->«>

Как было отмечено в § 74, приведенные уравнения выведены в асимптотическом приближении. Это подсказывает нам мысль рассматривать масштабы х и у как независимые измерения и искать решения, симметричные относи7ельно нетривиальных подгрупп четырехпараметрической группы аффинных преобразований

х->ял:, у->ру, а->Т"> v-bv. (14)

Можно надеяться на успех в случае обтекания бесконечного симметричного клина. В этом случае с помощью элементарного конформного преобразования можно показать, что эйлерово течение вне пограничного слоя имеет вид) ы„(л:) = сх при подходящих значениях постоянных сит. Случай т = С соответствует плоской пластинке, параллельной потоку; случай m = /г соответствует плоской пластинке, перпендикулярной потоку.

Проверяя условия (12) и. (13) на инвариантность относительно группы (14) при и(х) = cx", МЫ получаем однопара-метричесхую подгруппу, определяемую соотношениями

p = a(i-m)/2 Т = а" (тривиально). 8= а"-ф = 1/р. (14*)

) См. Oseen С. W., Arkiv for Mat.. 1-И, 1927-1928, или [71]. гл. И. Относительно асимптотического поведения прн малом v см. Kuerti G., /. Math. Phys. MIT, 30 (1951), 106-115.

) Доказательство дали Falkner и Skan [77]; см. также [3], § 64. Случай плоской пластинки впервые рассмотрел В 1 а S i и s [65]; см. также Weyl [66], Gels [67].

) См. Hartree D. R.. Ргос. Camb. Phi!. Soc. 33 (1937); 223-229-

Goldstein S., там же, 35 (1939), 338 -341; Stewart son К., там же. 50 (1954). 454 -465.

) [17], стр. 271.

Переменная т] = (М:„/д:)у инвариантна относительно этой подгруппы; поскольку величина V= j tidy получается в виде д(1п+1)/2у то инвариантна также и функция определяемая равенством V = f{x, у). Поэтому мы ищем решение частного вида V = л:"""У(7), т. е. решение, инвариантное относительно подгруппы (И*).

Всякое решение V такого вида удовлетворяет условиям (13), (13) и второму уравнению из формул (12), если \(оо) = с. Для того чтобы удовлетворялось оставшееся уравнение, необходимо и достаточно, чтобы функция f(r) удовлетворяла уравнению

m{f-\)-ff" = f". (15)

Последнее уравнение можно проинтегрировать численно) при краевых условиях /(0) = f(0) = О, /(оо) = с.

§ 83. Струи и следы в вязкой жидкости

С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, можно рассчитать, в приближении пограничного слоя, асимптотический профиль скоростей ламинарных вязких струй как для плоского, так и для осесимметричного течений.

Ввиду инвариантности уравнения пограничного слоя и уравнения неразрывности (12) относительно аффинных преобразований мы будем искать профили скоростей, удовлетворяющие гипотезе подобия

nx-pf{-n), -П-. (16)

где у обозначает расстояние от оси х на плоскости или в пространстве. Для того чтобы уравнения (12) были инвариантны относительно преобразования (16), необходимо и достаточно, чтобы 2д = р + I.

Мы опускаем выкладки 2), однако заметим, что в ходе вычислений подтверждается формула р = а= а« из группы (14*) для рассмотренного в § 82 случая р = - т.

Для Taio чтобы определить р, нужно также использовать закон сохранения полного количества движения струи, равно как закон сохранения количества движения следа, рассмотренный в § 57. На плоскости этот закон сохранения эквивалентен соот-