) Подробное рассмотрение некоторых трудностей можно найти в работе Ргос. Am. Soc. Civ. Eng.. 71 (1944), Trans. № 3. ч. 2. В некоторых моделях приливов силу Кориолиса нужно моделировать посредством изменения кривизны русла; см. [49], стр. 78.

) Можно завысить наклон дна реки нли устья, чтобы получить подходящие средние скорости течения, когда число Re мало. Шероховатость представляет собой важный фактор.

3) См. Camichel С, Escande L., Comptes Rendus, 199 (1934). 992. Отличное изложение законов масштабирования в случае переноса ила см, Е i п S t е i п Н. А., М й 11 е г Schweiz. Archiu. 5 (1939), № 8.

препятствия движению жидкостей в виде вертикальных пластинок или жестких проволочных сеток. Это увеличивает вихревую вязкость, так что силы вязкости в модели становятся даже относительно большими, чем в других условиях.

Впрочем, при достаточно больших числах Рейнольдса, так.ую до некоторой степени парадоксальную практику можно частично обосновать с помощью инспекционного анализа, на что указал автору С. Рой. В указанных условиях силы вязкости гораздо

меньше, чем «напряжения Рейнольдса» uiUj, где и - вектор турбулентной скорости, а черта означает усреднение (см. [5], стр. 192). Поэтому, если относительная турбулентность во всех точках одна и та же, можно рассчитывать на то, что распределения средних скоростей на модели и в натуре сходны.

Перенос твердых частиц (загрязнений, песка, гравия) движущейся водой в силу его большого практического значения для рек, гаваней и устьев часто изучают на моделях типа «подвижного ложа». Использование таких моделей требует большого индивидуального искусства и связано с очень тонкими соображениями ).

Моделирование по числу Фруда весьма приближенно сохраняет как скорости, вызванные силой тяжести, так и волновые движения (в моделях гаваней), но только в случае турбулентного режима течения или в случае, когда можно пренебречь вязкостью ).

На модели часто завышают относительные размеры частиц, отчасти, чтобы избежать силы сцепления, отчасти, чтобы сохранить число Re, а также, чтобы облегчить изготовление модели. Такое завышение размеров препятствует увлечению частиц модели водой. Это явление компенсируется) уменьшением их отрицательной плавучести pi - р.

Заслуживает упоминания также обычное в таких моделях использование различных масштабов по горизонтали и по вертикали. В Англии принято завышать вертикальный масштаб (следуя Рейнольдсу и Гибсону), чтобы избежать чрезмерного мелководья. Обоснованность такого завышения часто оспарива-

лась ) во Франции, где имеется тенденция применять модели больших размеров. Это можно истолковать как нечто вроде асимптотического масштабирования (§ 74).

На практике при изучении гидравлических моделей рек и гаваней редко обращаются к теоретическим доводам. Надежности добиваются тем, что воспроизводят различные аспекты режима, наблюдаемого в реальных условиях. При этом надеются, что изменения в условиях обтекания также будут воспроизведены в новом масштабе - хотя не имеется никаких теоретических доводов в поддержку такого предположения.

§ 78. Моделирование входа в воду

Для подводной баллистики может иметь большое значение моделирование явлений поверхностного и глубинного смыкания, которые сопровождают вход в воду, как указано в § 53. Поэтому возникает проблема, как воспроизвести эти явления в другом масштабе.

На основании экспериментальной аналогии можно поддаться искушению использовать попросту моделирование по числу Фруда с пониженным давлением при постоянных числах Fr и Q или Q*; и действительно, такое предложение было сделано. Однако мы рады заявить, что на этот раз правильное решение в случае поверхностного смыкания, по-видимому, было дано не инженером, исходившим из физического опыта, а с помощью инспекционного анализа «математиком в его кабинете», именно автором этой книги 2). Решение было подсказано следующими соображениями.

Простое размышление приводит к мысли, что поверхностное смыкание обусловлено плотностью воздуха: имеет место снижение давления в горловине каверны на величину pVV2 (р- плотность воздуха, v - скорость воздуха), и это вызывает всплеск и сужение горловины. Такое явление невозможно воспроизвести на модели, если плотность р уменьшается вследствие понижения давления; но если давление не понижается, то, по-видимому, не моделируются размеры пузыря, образующегося после смыкания каверны.

J Camichel С, Fischer Е., Escande L., Comptes Rendus. 199 (1934), 594. Экспериментальный контрпример, приведенный ими, не является примером почти горизонтального потока.

») Birkhoff G., Modeling of entry into water. Applied Math. Panel, National Defense Research Council, May. 1945 (рассекречено), Wauli J. C, S t u b s t a d G. W., Water-entry cavity modeling, Navord Rep. 5365, December, 1957. Относительно моделирования входа твердого тела в воду см. также May А., Л Appl. Phys., 19 (1948), 127-139; Levy J., Rep. Е-12.19, Hydrodynamics Lab., Caltech., August 1956.

) Birkhoff G., Isaacs R., Transient cavities in air-watter entry, Navord Rep., 1490, January 1951.

Поскольку мы имеем дело не с водяным паром, уравнение состояния уже не имеет вида (33), а выражается приближенно соотношением

p = kp\ (43)

Приближенно это уравнение удовлетворяется для подводных пузырьков газа, и если только мы не имеем дела с насыщенным газом, равенство р = pv + kpy не выполняется. По этой причине надо использовать число Q* вместо числа Q.

С математической точки зрения, уравнения неразрывности, состояния и движения сохраняются при преобразовании

Xi = aX, ti=Yat, Ui=VU, Pi = cip, P[ = P Pi = P. p; = P. к=ак,

где индексом обозначены преобразованные переменные. Итак, мы можем получить модель, если у нас будет газ, уравнение состояния которого имеет вид p[ = kp, где р= kp есть уравнение состояния воздуха. Таким газом, например, вполне может быть воздух при низкой температуре, но это непрактично с технической точки зрения.

По-видимому, практичнее использовать фреон или какой-либо другой «тяжелый газ», у которого i ¥= 1,4, но плотность которого в несколько раз больше плотности воздуха при пониженном давлении и при температуре атмосферы; в малом масштабе такое моделирование было выполнено (ср. [29]). Остается только выполнить моделирование р и dpidp для газа.

Моделирующий процесс, описанный выше, по-видимому, не отражает глубинного смыкания. Если оно представляет собой эффект вязкости, как мы предположили в § 53, его можно моделировать, лишь сохраняя число Re, что практически невозможно. Однако, поскольку максимально возможное понижение давления уменьшается до нуля вместе с Q* (в предположении, что растяжение р < О невозможно в течение рассматриваемого промежутка времени), глубинное смыкание должно получаться хотя бы и не совсем точно при моделировании по числу Фруда с пониженным давлением, с применением или без применения тяжелого газа.

Необходимость более аккуратного анализа, чем обычный анализ размерностей, видна и на примере безразмерного параметра N=Y¥t pIp. Этот параметр, как недавно) было