§ 101. Тензор присоединенной массы

Вблизи положения g = О в некоторой системе отсчета удобно считать, что qi, дг, дг определяют поступательные движения тела S в направлениях трех осей координат соответственно, а qi, qr„ qe определяют повороты (в радианах) относительно этих осей. Тогда Tfih (0) из формулы (2) представляют собой числа, зависящие от выбора осей координат, связанных с S.

При любом таком выборе осей пусть f/, U, обозначают потенциалы скоростей, соответствующие переносам в направлении осей с единичной линейной скоростью, а U, W, - потенциалы скоростей при вращении тела вокруг этих осей с единичной угловой скоростью. Тогда кинетическая энергия жидкости Т из формулы (2) определяется равенством

27- = qnqk / Р (Vf/" • dR = q,q, (4)

где мы суммируем по повторяющимся индексам (обычное соглашение в тензорном исчислении). Как и в формуле (2), dR = dx\dx2dxz есть элемент объема жидкости; кроме того, поскольку V7*V6* = Viy*V6*, очевидно, имеем Thh = Tkh, т. е. тензор присоединенной массы симметричен.

При ускоренном движении из состояния покоя все qn ~ 0; следовательно, уравнение (3) сводится к уравнениям простого вида:

Qh=T,{0)q, если q = 4 = 0. (б)

Отсюда следует простая интерпретация величины Thh, это есть k-компонента силы, если телу в состоянии покоя сообщают единичное ускорение в направлении h. Кроме того, так как Thh = Thh, мы сразу получаем следующий принцип взаимности ([76], стр. 305): А-компонента силы при единичном ускорении в направлении h равна /г-компоненте силы под действием единичного ускорения в направлении k.

В простом случае (5) легко проверить непосредственно, что наша система лагранжева. В силу второго тождества Грина ([4], стр. 212) справедливо равенство

Но в этом случае производная dUldn равна (гл. I, (7)) нормальной составляющей скорости тела S при движении с единичной скоростью в направлении ди- Введем теперь следующее

§ 101. Тензор присоединенной массы 201

удобное обозначение, которое будем использовать и в дальнейшем, dS,, = {dUjdn)dS, так что можно записать соотношения:

dSi = dX2dx3, dS2 = dxdXi, dSdxdx, dS = X2 dS - x dS2, dS = x dS - Xi dS, (7)

dSg == Xl dS - X2 dSi-

По самому определению величины Thk очевидно равенство

T,, = pff US.pffuS,. (8)

Очевидно также, что если обозначить через р скалярное давление, то f f Р 1 j J Р "2 j j Р 3 представляют собой компоненты силы, с которой тело S действует на жидкость, а J J р dSi, j р dS, j j Р в представляют собой компоненты момента этой силы.

Теперь рассмотрим течение, возникающее из состояния покоя при единичном ускорении в направлении д. Легко подсчитать, что если в начале U = О и dU/dt = V, то U{x; t) отличается от W{x) на бесконечно малую величину второго порядка относительно t. Так как мы свели задачу к случаю g = О, то из уравнения Бернулли для давления жидкости, движущейся с ускорением [гл. I, (5)], следует уравнение

,+pVf/vf/+p- = const. (8*)

Отсюда видно, что начальное гидродинамическое давление р всюду равно произведению «потенциала ускорений» на плотность р. Соответствующая подстановка в формулу (8) дает

Thk = Jf Р"!" т. е. Thk есть к-компонента силы при движении из состояния покоя, вызванном единичным ускорением в направлении Qh. В частности, Qi, q2, q3 представляют собой обычные компоненты силы относительно выбранных нами осей, а q4, Qa, Qe - соответствующие моменты. Этим оправдано предположение (3) для случая (5), т. е. для случая ускорения тела из состояния покоя.

Когда движение сводится только к поступательному, координаты {qx, qz, qz) могут быть использованы в большом. Тогда Тц{ч) = Tij{0), т. е. постоянные, и, таким образо.м, из формулы (3) следует соотношение

г\ d I дТ\ дТ т> •• г. • п т

= ИШ-1- ГЬ/ = Ь2,3]. (9)

Отсюда видно, что парадокс Даламбера (§ 7) возникает уже из-за принятия предположения (3), и это заставляет нас вспомнить, что наша модель в общем не соответствует физической действительности. Более сложным оказывается исследование моментов и вообще величин, характеризующих вращение при наличии поступательного движения (см. § 111 - 112).

Выведенные выше формулы относятся к «присоединенной» массе. Очевидно, что кажущаяся масса, определяемая как сумма собственной массы находящегося в жидкости (твердого) тела S и присоединенной массы, представляется другим симметричным тензором (матрицей), обладающим в точности теми же свойствами.

§ 102. Геометрические фигуры частных видов; тело Рэнкина)

Коэффициенты присоединенной массы были подсчитаны теоретически не только для сферы, но и для тел простой геометрической формы. Обычно их приводят в безразмерном виде, выражая их через отношение k присоединенной массы ко всей массе, равной произведению плотности р на объем (S) вытесненной жидкости.

Многие результаты, полученные различными авторами, приведены в книге Ламба [7]. Эллиптические цилиндры в случае поступательного движения и вращения рассматриваются в [7], § 71 и § 105-107; сфероиды и эллипсоиды -в [7], § 105-107 и § 113-116; пара сфер-в [7], § 113-116.

Можно также вычислить присоединенную массу различных других «двумерных» фигур (цилиндров, движущихся параллельно своей оси). Так, Тейлоре) подсчитал величину k для различных многоугольников и параболических двуугольников. Различные авторы ) рассматривали также круги и эллипсы с симметрично расположенными стабилизаторами с целью исследовать стабилизирующее действие, которое оказывают на летательный аппарат рулевые поверхности.

) Многие из результатов, приведенных в этом параграфе и в други.ч параграфах этой главы, можно найти в работах Л. И. Седова [25*] и [27*]; см. также Р и м а н И. С, Крепе Р. Л., Присоединенные массы тел различной формы. Тр. ЦАГИ № 635, 1947 т. -Прим. ред.

О Taylor J. L., Phil. Mag., 9 (1930), 161-183. Случай параллельных пластинок см. Рябушинский Д., Ргос. Int. Math. Congress, Strasbourg (1920), 568-585; см. также Bickley W. G., Phil. Trans.. A228 (1929), 235-274 и Proc. Land. Math. Soc. 37 (1934), 82-105 и Seth B. N., Publ. LucKnow Univ. (1938-1939).

) Kuerti G. и др., Navord Rep. 2295 (1952); Bryson A. E., J. Aer. Sci.. 20 (1953), 297-308 и 21 (1954), 424-426; Summers R. C, там же, 12 (1953), 856-857, ср. с формулой (22).