§ 46. Прямая задача 95

§ 46. Прямая задача

Теорема 1 позволяет решить обратную задачу-найти класс всех плоских течений бесконечного потока, разделенного на симметричные части криволинейным препятствием. Теперь мы обратимся к прямой задаче: найти, какова функция Qit) для данного двумерного препятствия Р. симметрично расположенного в бесконечном потоке. Мы покажем, что эта задача эквивалентна решению нелинейного интегрального уравнения.

В принципе можно очень просто выразить все свойства течения с помощью функции Q{t). Так, вдоль неподвижной границы Р {t - в плоскости t) для Й = б -Ь гЧ запишем равенства

8 = ajCos<3-f ajCosSo-f %cos 56+... , (22а)

•с = а, sin o-f Сз sin 3o-f flsSin 5<з+... . (226)

Нам будет удобно рассматривать также производную

Х(о)== -rfe/£fa=.aiSina-fSasSinSo-fajSinSo-f .... (22в)

предполагая в соответствии с гипотезой (Е) из § 1, что выписанные ряды Фурье удовлетворительно сходятся в случае достаточно «гладких» препятствий.

Мы покажем теперь, что О отличается на величину- от направления ф касательной к препятствию. Так как arg dz/dT = aтgJ;,~ + argdW/dT и argdz/dT = (исключая критическую

точку С), то очевидно, что arg~ равен <р - т на участке АС и равен ф на участке СВ. С другой стороны, в силу формулы (19) и сделанных перед этим замечаний относительно величины arg[(l +it){{l-it)] значение arg- равно 9 -ir/2 на участке

АС и равно б + к/2 на участке СВ. Оба эти соотношения показывают, что вдоль участка ЛСВ 8 = ф - it/2.

Длину дуги препятствия / можно найти при помощи соотношения (21), из которого следует равенство

dl=\<:,-\-\dWldT\.\dT/dt\-d<i на t = e\

Применяя формулу (19) и элементарную тригонометрию, получаем соотношение

i-it

l-fslne

COS <j

Аналогично, так как dW/di {t- t), как и в формуле (21), находим соотношение

= Ж • I cos 9 sin о I, Ж = const.

Сравнивая предыдущие формулы, окончательно получаем следующий результат:

flf/ = Afv(e)e-f>flfe, v (о) = I sin в (1-1-sin в) . (23)

Поэтому для кривизны, определяемой равенством х = -dcfldl = = -rfe/rf/, получаем формулу

IMflil /24)

ЧТО можно сравнить с ..ормулами (22в), (23).

Пусть теперь Р -любое гладкое симметричной формы препятствие, имеющее кривизну постоянного знака (т. е. без точек перегиба), и пусть к = К{Ь) выражает кривизну как функцию угла 6 = ф -11/2, на который касательная поворачивается за точкой С. Тогда, преобразуя формулу (24), получим выражение

X (о) = Mv (о) е- (•) К{Ь) = Afv (в) tf- А(Л). (25)

где линейные операторы D а / определяют функции т(о) иЭ(о) через Х(а) по формулам (22а) -(23в). (Действительно, А =

= j\{a)do, тогда как DX является «преобразованием Дини» «я

функции л (о) при соответствующем сингулярном интегральном ядре D(a, о); см. работу [17], стр. 136.) Итак, нами доказана следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы течение, описанное в теореме I, соответствовало препятствию, имеюиему кривизну х =/С (9) постоянного знака, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (25).

При малых значениях константы М интегральное уравнение (25) можно разрешить прямой итерацией функционального преобразования

Кх (а) = S [К (0)1 = (о) e-nKin). (26)

При больших значениях М сходится «усредненная итерация» относительно соответствующим образом выбранного «весового» множителя 6, т. е. можно итерировать по формуле

Кх (о) = (1 - 6) К {О, + s5 [\„ (0)1. (260

Таким образом, используя современные быстродействующие вычислительные машины, можно эффективно разрешить интегральное уравнение (25), при заданном положительном значении Af; подробности можно найти в литературе).

§ 47. Неопределенность точки отрыва

Соответствие между интегральными уравнениями (25) и препятствиями Р не является взаимно однозначным из-за наличия параметра М. Поэтому возникает основной вопрос: в каком смысле (если о нем можно говорить) корректно поставлена задача Гельмгольца, рассмотренная в § 36? Этот трудный вопрос еще не разрешен полностью даже для плоских течений, имеющих ось симметрии.

Таким образом, как показал в 1911 г. А. Вилла [22], даже течение Кирхгофа, описанное в § 39, не является единственным решением задачи Гельмгольца для плоской пластинки в бесконечном потоке. Для конфигурации, изображенной на рис. 17, появляется однопараметрическое семейство других, топологически отличающихся возможных решений*) (см. {D),% 1).

В случае круглых препятствий возникает еще более существенная неопределенность, даже если предположить, что топология течения обусловливает наличие единственной бесконечной каверны позади препятствия. Еще до того как удалось доказать строгие теоремы, М. Бриллюэн установил, что положение точки отрыва является неопределенным. Этот факт тесно связан с неопределенностью постоянной М в соотношении (25): вообще говоря, константа М соответствует «смоченной длине», равной расстоянию от точки раздела С до точек отрыва

i4 и В, и возрастает с увеличением участков Ci4 = СВ. Поэтому задача Гельмгольца для круглых препятствий не является корректно поставленной, даже если задаться топологией течения.

) Работа [17], гл. IX, § 8; BIrkhoff G., Golds tine Н. Н, Zarantonello Е. Н., Rend. Sent. Mat. Torino, 13 (1954), 205-223. (Первая конкретная задача об обтекании с отрывом струй криволинейного препятствия (дуга круга при прямом ударе) была решена А. И. Некрасовым ро*] методом последовательных приближений с доказательством сходимости ш единственности. Затем появился еще ряд работ, продолжающих и обобщающих исследования А. И. Некрасова, см. [17»]. Метод Н. Е. Жуковского был обобщен на случай струйного обтекания произвольного числа криволинейных дуг Л. И. Седовым [7*]. Широкие теоремы существования и едии-стввнноста для струйных течений были доказаны М. А. Лаврентьевым [21»1 -

,.J См. работу [17], гл. V, § 3. Zarantonello Е. Н., I. de Math.. 33 (1954), 29-80, показал, что других возможностей не существует.