ционарныв течения вязкой жидкости в круглой трубе), являются течения Пуазейля, определяемые формулами

и = а{с - г), и, = и, = 0. (12)

Доказательство. Предположение о стационарности течения означает, что функция и = и(л-, г, 6) не зависит от времени t. Кроме того, условия задачи инвариантны относительно отражения в любой плоскости, проходящей через ось трубы; течение имеет эту симметрию тогда и только тогда, когда «9 = О, «д: = f{x, г), Ur - g{x, г). Согласно нашим условиям, должна быть также инвариантность относительно произвольного переноса вдоль оси трубы. А так как v предполагается не зависящим от давления, то это же относится и к уравнениям (3) и (4). Симметрия относительно переноса эквивалентна соотношениям Ux = f(r), Ur - g(r). Из этих соотношений и из условия (6) следует, что divu = d[rg{r)]ldr = О, откуда g{r) = С/г = О, так как на оси g(r) = 0.

Теперь, полагая g = О, согласно теореме 1, мы используем уравнение (3). Поскольку Мз = «з = О, имеем р = р(х). Рассматривая случай 1=1 (с одной координатой х), получаем соотношение

р (х) - Vu, = V. {/" (г) + г-у(г)].

Так как левая часть не зависит от г, то правая часть также не должна зависеть от г. Таким образом, (rf)= rf" + f = kr

для некоторого постоянного k, и г/ fer -ь К. Это Дает конечное значение Ux = f(r) при г = О, только если К = 0; следовательно, f = kr/2 и /(г) = jkr + b. Для того чтобы удовлетворялось условие прилипания (6) на границе, должно быть Ux = а(с2 - г), что завершает доказательство теоремы.

Подставляя полученные выражения в уравнение (3), мы получаем классический результат, что градиент давления равен

-If=4 = *?. 03)

где Q = uacV2 есть объем жидкости, протекающий за единицу времени через поперечное сечение трубы.

§ 25. Парадокс турбулентности

Экспериментальные данные в этом случае в высшей степени замечательны. Хотя формула (13) (закон Пуазейля - Хагена) подтверждается при движении жидкости в капиллярных труб-

§ 25. Парадокс турбу.1ент1юсти

ках, она полностью теряет силу для обычных гидравлических труб. Точнее, мы можем сформулировать следующий общий парадокс.

Парадокс турбулентности. Для течений в прямых трубах гипотеза симметрии (С) нз § 1 выполняется, если число Рейнольдса Re < 1700, и обычно не выполняется при Re > 10*. Когда Re > 10*, наблюдаемое на опыте течение не обладает ни пространственной, ни временной симметрией и является турбулентным.

0.007 0,006 0,005 0,00

0.003 0,002 0,001

Поверхностное трение Оля воды и воздуха

+ + +

• Вода в трубе + Воздух в трубе

2,500

10000 i

25000

ЮППОО

3,0 3,1 3fl 3,6 3,8 4fi 4.2 4.4 4,6 4.8 5,0

Log VD/>)

Рис. 8. Подобие течений воздуха и воды в трубах по числу Re.

Оговорка «обычно» в предыдущем утверждении относится к тому, что можно избежать появления турбулентности, добиваясь полной обтекаемости входного отверстия, полируя стенки и обеспечивая на входе трубы ламинарное течение. При чрезвычайной тщательности можно было таким путем избежать появления турбулентности при значениях Re вплоть до 40000. Но если не принимать специальных мер, то течение в трубках при Re > 2000 будет турбулентным.

Это хорощо иллюстрируют классические экспериментальные данные Стантона и Пэнеля которые воспроизведены на рис. 8.

) Stanton. PanneII, Phil. Trans.. A214 (1914), 119-124; более подробное исследование турбулентного течения в трубах см, в [3], гл. VIII.

) Stewart R. W„ Proc. Camb. Phil. Soc, 47 (1951), 146-157. (Относительно изотропной турбулентности см. [14*], [9*] и приведенную там литературу, - Прим. ред.)

») См. Synge J. L., Hydrodynamical stability. Semicentennial publ. Am. Math. Soc, 1938. т. 2, стр. 227-269; [36], особенно § 3.2.

) См. [11], т. 2, стр 32-33; Сото) et R.. Comptes Rendus. 226 (1948), 2049 (также La Houille Blanche, питёго special В (1949), 673). Теоретические аргументы см. Pekeris С. L., Proc. Nat. Acad. Set., USA. 34 (1948), 285-295.

Они своеобразно подтверждают уравнения Навье - Стокса, показывая, что критическое число Рейнольдса Не,ф., при котором имеет место переход к турбулентности, одно и то же для воздуха и воды и равно приблизительно 1700. Теоретически этот вывод можно было бы получить из теоремы 2. Большинство современных специалистов считают, что течение Пуазейля является просто неустойчивым, при Re > Rehp., а турбулентное течение все-таки удовлетворяет уравнениям Навье - Стокса. Хотя из принципа подобия (7) теоремы 2 не следует справедливость уравнений Навье - Стокса, их пригодность в случае турбулентного течения подтверждается опытными измерениями скорости затухания однородной турбулентности).

Кроме того, гипотеза (С) из § 1 все-таки выполняется статистически. Обозначая черточками средние значения, мы можем выразить симметрию посредством следующих формул:

u,F{r), «, = «, = 0. 4 = G{r), iTlHir)

и т. д. Таким образом, рассмотрение экспериментальных данных подсказывает нам концепцию статистически определенных решений уравнений в частных производных как новую и увлекательную область для математических исследований. Изучение таких «стохастических дифференциальных уравнений» открывает теперь новые горизонты в математическом анализе.

Несмотря на доблестные усилия математиков2), наблюдаемая неустойчивость течения Пуазейля не получается в результате исследований средствами математического анализа. Предполагали ) даже, что в идеально гладких круглых трубах течение Пуазейля является устойчивым относительно бесконечно малых возмущений. Однако в настоящее время даже для случая двумерных возмущений совершенно достоверно установлена неустойчивость плоского течения Пуазейля между двумя параллельными пластинками при Re > 5300. Поэтому подобное предположение представляется маловероятным.