§ 31. Уравнения Озеена

Озеен") и Ламб ввели парадокс Стокса в рамки теории, показав, что конвективные члены преобладают над вязким членом при очень больших значениях г, как бы ни было мало число Re. Переопределенности можно избежать, более аккуратно переходя к двойному пределу при Re-»-0, г-»- + оо.

Чтобы получить разрешимую краевую задачу, Озеен предложил ввести в оператор D/Dt вместо точных членов 2 Uhd/dXh линеаризованные конвективные члены 2 Ukioo)d/dXh. Благодаря введению таких слагаемых в уравнения Стокса Озеен смог получить теоретическую формулу для лобового сопротивления в случае медленно движущегося цилиндра. Приближенное экспериментальное подтверждение этой формулы возможно, хотя и оказывается довольно трудным ([3], гл. IX).

Это разрешение парадокса Стокса в свою очередь привело к другому парадоксу, открытому Файловом 2). В парадоксе Фай-лона утверждается, что уравнения Озеена, взятые буквально, дают бесконечный момент для эллиптического цилиндра, косо поставленного относительно потока. Этот парадокс был недавно разрешен Имаи при помощи перехода к более высоким приближениям.

Приближенные уравнения Озеена можно также использовать для исправления формулы (15), чтобы учесть влияние малого, но конечного числа Re на лобовое сопротивление сферы; поправочный множитель оказался равным (l+3Re/8). Этот поправочный множитель был тщательно исследован Гольдштейном*), который получил степенной ряд для коэффициента сопротивления CD(Re), сходящийся, вероятно, при Re < 2. Экспериментальные измерения, по-видимому, дают меньшее сопротивление; кроме того, ввиду асимптотического характера исследований Озеена возникает вопрос, не будет ли окончательная формула верна только асимптотически*).

Обзор решений других краевых задач, к которым приводят уравнения Озеена, дан в работе [9], часть III. Однако аппроксимация конвективных членов весьма неточна вблизи препят-

) [9], стр. 162; [7], стр. 769; см. также [12], т. VI, стр. 29-40.

Filon L., Proc. Roy. Soc. A113 (1926), 7-27. По поводу объяснения парадокса Файлона, данного Имаи (Imai), см. там же, А208 (1951), 487-516.

3) Goldstein S., Proc Roy. Soc. A123 (1929). 225-235; или [3]. § 2f5. Ср. Weyssenhoff J., Annalen der Physik. 62 (1920), 1-45.

) Ct.. Kaplun S., Lagerstrom P. A., I. Math. Mech.. 6 (1957), 585-593; Proud man 1., Pearson J. R. A- /• Fluid Mech.. 2 (1957), 237-262.

§ 32. Парадокс пузырька 69

ствий И стенок. В связи с этим теория пограничного слоя Прандтля при больших числах Рейнольдса значительно более плодотворна.

§ 32. Парадокс пузырька

В теории подводного взрыва мы встречаемся с положением, аналогичным парадоксу Стокса. Хотя сушествует простая и чрезвычайно полезная теория сферических пузырьков, возникающих при подводных взрывах ), легко показать, что в двумерной гидродинамике для всякого расширения или сжатия пузырька в несжимаемой жидкости требуется бесконечное значение кинетической энергии

iff l?"! L)dxdy.

При конечных силах сжимаемость всегда должна играть основную роль на достаточно больших расстояниях.

Имеются еще два любопытных парадокса, происхождение которых скорее физическое, нежели математическое, и которые показывают уязвимость гипотезы (А) из § 1. Пусть маленький воздушный пузырек поднимается в жидкости под действием плавучести, причем он настолько мал, что вследствие поверхностного натяжения сохраняет почти сферическую форму и его движение - «ползущее». Так как пузырек состоит из газа, то вместо условия (6) надо взять его логическое обобщение: и(х) должна быть непрерывна при переходе через границу.

Поставленная таким образом математическая задача была решена Рыбчинским и Адамаром при добавочном предположении непрерывности тангенциального напряжения 2). Теоретически лобовое сопротивление определяется по формуле

где \1 - вязкость жидкости, а р, - вязкость жидкости поднимающегося пузырька.

Все это относится к теории. На практике же для сопротивления, по-видимому, обычно верна формула (15), а не (18). Это значит, очевидно, что пузырек ведет себя так, как если бы

) См. [7], п. 95-91а, или [!7], гл. XI. § 1-3

Rybczynski W., Bull. Acad. Sci. Cracovie (1911), 40; H a d a-mard J., Comptes Rendus, 152 (1911), 1735. Относительно экспериментальных данных см. Barr G., A manual of viscometry, Oxford, 1931, стр 190 и дальше; Bryn Т., forschung lag., 4 (19.33), 27-,30; [11], т. 2, п. 74.

§ 33. «Вторая» вязкость

Как указывалось в § 19, при обычном выводе уравнений Навье-Стокса (1*) мы имеем дело с двумя коэффициентами вязкости Яиц. Можно принять, что коэффициент вязкости при сдвиге измеряется для течения Пуазейля; тогда остается задача измерить коэффициент X и проверить следствия уравнений (1*) для этого коэффициента X, который, верояпю, зависит от температуры Т и давления р.

Как было сказано в § 19, Стоке просто предполагал, что Я, = -2ц/3. Однако ясно, что надежнее ввести в рассмотрение величину ц = X, + 2(1/3 и исследовать ее экспериментально. С физической точки зрения X и «вторая» вязкость ц не имеют смысла, пока они не определены и не измерены экспериментально.

В о п d W. N.. Phil. Mag., 4 (1927), 889-«98. Отличный обзор вопроса см. McNown J. S., La Houille Blanche, в (1951), 701-722.

) Сопротивление может быть вя.чким илн упругим; см. С г i d d 1 е D. W. and Meader A. L., Jr., /. Appi Physics. 26 (1955), 838-842 и приведенную

там литературу.

) Block М. J.. Young N. О.. Goldstein J. S., Fluid Mech., G (1959), 350-356; см. [17], стр. 319.

он был твердым телом. Такое противоречие между теорией и экспериментом может быть названо парадоксом поднимающегося пузырька.

Как предполагали Бонд) и другие авторы, кажущаяся твердость, возможно, объясняется образованием тонкой (мономолекулярной) пленки на поверхности пузырька из различных примесей, и эта пленка оказывает сопротивление деформации*). Однако полная картина все еще не ясна.

Еще более эффектным является следующий парадокс.

Парадокс падающего пузырька. При вертикальном градиенте температуры в жидкости изменения поверхностного натяжения могут привести к тому, что пузырек будет опускаться, а не подниматься).

Стягивание поверхности пузырька по направлению к стороне с большим поверхностным натяжением заставляет пузырек в вязкой жидкости двигаться в направлении убывания поверхностного натяжения, т. е. в направлении возрастания температуры. Это явление кажется парадоксальным только потому, что оно так необычно, и потому, что в механике жидкостей почти всегда условно принимают поверхностное натяжение (как и вязкость) постоянным.