$ 84. Течения Прандтля-Мейера 167

ношению 2р = 9, а В пространстве - соотношению р = q в предположении, что справедливо соотношение (16).

Решая предыдущие уравнения, мы получим для пространственного случая р = q = 1. Это весьма примечательно, так как полная система уравнений Навье - Стокса инвариантна относительно найденной частной группы подобия, что впервые было получено Яцеевым и Сквайром"). Уравнения Навье - Стокса в сферических координатах эквивалентны уравнению

/2 = 4т/+2(1-)/-2(с,+С2Т + Сз). T = -=cos9, (17)

где Cl, С2, Сз - постоянные интегрирования. Кроме того, из естественных физических краевых условий следует, что Ci = Сг =» = Сз = 0; в таком случае уравнение (17) можно легко проинтегрировать и получить следующий результат:

e-f l - cosO >

при произвольном а. Поведение этих решений «в большом» будет рассмотрено в § 89.

Аналогично можно рассмотреть ламинарные следы в вязкой жидкости, если и считать возмущением скорости свободного потока и, так чтобы и + и представляло собой локальную скорость. В этом случае, кроме гипотезы подобия (16), надо привлечь закон сохранения количества движения следа (§ 57), что

дает р = 9 = Y для плоских следов и р = 1, ? = ДЛЯ следов

в пространстве. Можно также вычислить и профили скоростей по-прежнему в приближении ламинарного пограничного слоя.

Примерно таким же образом исследуются турбулентные струи и следы. Однако в настоящее время общепризнано, что допущения, использующие понятие «длины перемешивания», для подобия в турбулентном случае, принятые в опубликованных теоретических работах, весьма сомнительны (см. [17], гл. XIV, § 11).

§ 84. Течения Прандтля - Мейера

В качестве еще одного примера применения метода «поиска симметричных решений» в задачах континуальной физики мы яерейдем теперь к установившимся безвихревым течениям сжимаемых невязких жидкостей. Дифференциальные уравнения

1) Яцеев В. Л., ЖЭТФ, 20 (1950), I031-I034; Squire Н. В., QJMAM. 4 (1951), 321-329. Относительно краевых условий см. [17], стр. 278,

таких течений инвариантны, как мы видели в § 73, относительно однопараметрической группы моделирования по числу Маха:

Xi-*axi, t-*4t, р, р, U не изменяются. (18)

Следуя методу поиска симметричных решений, будем искать течения, инвариантные относительно группы (18); стационарные же течения будут инвариантны и относительно группы преобразований

t-t + x (18)

при неизменности всех прочих переменных.

При рассмотрении течений, инвариантных относительно преобразований (18) и (18), удобно пользоваться полярными (г, б) и сферическими (г, 6, ф) координатами. Пусть Иг и и, - соответствующие радиальная и трансверсальная составляющие скорости. Мы рассмотрим лишь случай = О, т. е. случай отсутствия циркуляции в стационарном (безвихревом) плоском и осесим-метричном течении.

Допущение инвариантности относительно преобразований (18) и (18) означает для таких течений, что нижеследующие величины зависят только от угловой переменной (дополнения широты):

Иг = «(в). И1 = А(9), Р = р(в),

р=т f=/(p)=c».

Плоские течения, удовлетворяющие условиям (19), называются течениями Прандтля -Мейера; в § 92 мы дадим их обобщение (см. там рис. 26). Пространственные течения, удовлетворяющие условиям (19), называются осесимметричными коническими течениями.

Предположение об отсутствии вихрей равносильно условию

и, dr-{-иг db = О для всех замкнутых кривых, откуда 0 =

d(rui)/dr - dUr/dQ = h - g, и мы получаем равенство

h = g- (20)

Так как течение безвихревое, то уравнения движения эквивалентны уравнению Бернулли, которое можно записать в виде

т + / т = т +в") + / Т=(21)

или как дифференциальное уравнение

0 = udu-\-=g(g-\-g")+c"(). (21)

§ 84. Течения Прандтля - Мейера 169

При политропном уравнении состояния р = Лрт-(-ро, c = 7*p"-, и так как J dp/p = к-р-Ц-- \) = сКТ - \)->rConsi, то, следовательно, в этих условиях получаем уравнение

Yigg) + j&T = (21 *)

Все сказанное до сих пор справедливо и для конических течений.

Для течений Прандтля - Мейера уравнение неразрывности div(pu) = О можно записать в виде

(Р"- + Ж (Р"9 Р" + (Р"« = Р (" + "») + Р"9-

Использовав (19) и (20), мы получим уравнение

(g+g") + ()g = 0. (22)

Умножая уравнение (22) на g и вычитая полученное уравнение из равенства (2Г), придем к результату

(c-\-g)(c-g)[) = 0. (22)

Соотношения (22) и (22), очевидно, эквивалентны уравнениям движения и неразрывности. Мы получаем, таким образом, два семейства решений.

Случай 1. р= 0. Тогда, согласно уравнению (22), получаем g" + g О, откуда Ut = А cos (6 - а). Чтобы получить «о, мы используем формулы (19) и (20) и находим, что течение рао-номерное с постоянным вектором скорости.

Случай П. с2= g2, или с = ± g. Мы видим, что радиусы 6 = const являются характеристиками в том смысле, что перпендикулярная к ним составляющая скорости всегда равна скорости звука с. Это так называемые волны разрежения Прандтля - Мейера ); они могут заполнять клиновидные области, плавно переходящие на границе в области равномерного течения. Мы часто видим такие области на фотографиях действительных течений; таким образом, предположение, что р = р(9), непосредственно подтверждается экспериментом.

В политропном случае, подставляя с = g* в уравнение (21*), мы сразу получаем дифференциальное уравнение

(T + l)g + (T-l)g==2(T-l)C. (23)