Это соответствует инвариантности уравнений Навье -Стокса относительно преобразования t-t-oit и х->рх при условии, что число Рейнольдса Re = iirf/v - ф/а) р, [v = const] не изменяется, так что р ~ Va. Решения (52) - в точности те течения, которые инвариантны относительно этой группы.

Уравнение (51) имеет также «вырожденные» решения. Например, рассмотрим течения, параллельные оси х, тогда можно записать равенства:

«i = ff(0/i(y. г), И2 = Из=/? = 0. (53)

В этом случае условие (50) всегда удовлетворяется. Так как Л = 1, то F2 = 0; из р = О следует Ft = 0. Большое значение имеет то, что Gi = fidui/dx = О при всех i; поэтому для Fs нет ограничений. Остается удовлетворить условию g/i = vff(fi/dy*-f + dfi/dz), которое, поскольку g зависит от t, а /1 зависит от X = {у, г), сводится к равенству g/g = - ft и соотношению

Ur=e-"A(y. Z), где -f =-vft/,. (53)

Последнее соотношение определяет хорошо известное) экспоненциальное затухание параллельных вязких течений, например, течения в двумерном канале-а<у<а прии,=в"*coswy/2а и ft = пЩаЧ

§ 92. Обратные методы

Предыдущие примеры характеризуют метод «разделения переменных» как обобщение «метода поиска симметричных решений». В свою очередь метод разделения переменных представляет собой частный случай более широкого класса «обратных методов», систематически изученных П. Неменьи*). Положение в этом вопросе нестрого можно описать следующим образом. Всякий раз, когда теория групп указывает на существование течений с разделенными переменными или течений, обладающих каким-либо другим свойством Р, априорно постулируя свойство Р, мы получим по меньшей мере те же решения, но, возможно, и какие-либо другие.

) См. Taylor G. I.. PhU. Mag.. АЛ (1923), 671-674. Аналогичное экспоненциальное затухание возможно и для круговых течений, когда р(г) достаточно велико для создания центростремительного ускорения; ср. {71} я В е г к е г R., Sur quelques cas cllnt£gratlon des equations du mouvement dun fluide visqueux Incompressible, Lille, 1936.

*) H e M e H ь и П. Ф., сб. Проблемы механики, ИЛ, М., 1955, стр. 234-257. (См. также [44]. - Прим. ред)

Например, согласно теории групп, существуют (локально) волны расщирения Прандтля - Мейера, для которых

Векторная скорость постоянна вдоль всякой прямой некоторого однопараметрнческого семейства.

«Обратный метод» состоит в нахождении всех стационарных безвихревых течений сжимаемой невязкой жидкости, обладающих свойством Р1. Это получается следующим образом.

Мы знаем (§ 5), что уравнения движения в случае стационарного безвихревого потока эквивалентны уравнению Бернулли

«2/2 + Jdp/p = С. Поэтому с помощью численного интегрирования для каждого значения «давления торможения» (т. е. постоянной интегрирования) получим одну и только одну пару функций р(«) и р[р(ы)], удовлетворяющих как уравнению состояния, так и уравнениям движения. Кроме того, течения со свойством Р1 -это течения, у которых такие р(и) и р[р(и)], что вихри отсутствуют и уравнение неразрывности (т. е. закон сохранения массы) удовлетворяется.

В рассматриваемой задаче можно достаточно хорошо разобраться геометрически, используя специальную систему координат, связанную с нашим однопараметрическим семейством прямых. В качестве специальной системы координат рассмотрим угол S, образуемый осью х с прямыми, и направленное расстояние h вдоль линии, ортогонально пересекающей прямые и отсчитываемой от некоторой фиксированной кривой, как показано на рис. 26. Если вспомнить, что заданные прямые представляют собой, «вообще говоря», касательные к некоторой плоской кривой Г, то сразу видно: (1) линии Э = const суть данные прямые; (2) линии h = const образуют ортогональное семейство эволют кривой Г; (3) ds" = dh" + гШ, где г = Л -t- s (S) есть радиус кривизны эволюты, а s означает длину дуги вдоль Г.

В этой естественной геометрической системе координат легко записать условие незавихренности и условие сохранения массы.

По определению, незавихренность означает, что циркуляция по любой замкнутой кривой i равна нулю. Если а обозначает

Рис. 26. Координаты для волны разрежения Прандтля - Мейера.

угол между прямой 6 " Оо и вектором скорости и(0о) с модулем q, то циркуляция по i равна

2 "* * л dh-\-sin л rdb).

По теореме Грина, этот интеграл обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда

-(cosa) = -(rslna).

Так как г = А + «(8), то drldh •= I; далее, в силу свойства Р1, величины q и л суть функции только 0. Поэтому условие незавихренности эквивалентно условию

(costt) = sin«. (54)

Положив g{b) - cosa и А(в) «= sina, будем иметь h, что обобщает формулу (20) из $ 84.

Для того чтобы записать условие сохранения массы, заметим, что поток массы во внешнюю область через кривую равен

(- sin а rfA 4- cos лг </в). т

По теореме Грина, этот интеграл тогда и только тогда обращается в нуль, когда

-(-p8lntt)=-(rpcosa) = wcosa. (55)

В только что введенных обозначениях последнее условие сводится к уравнению (-рА) = pg, где штрих означает дифференцирование по 6. После подстановки h g и упрощений получим + РвГ + per = О, или ig" + g) + (p7p)g - О, т. е. уравнение (22) из § 84.

Следовательно, все течения, удовлетворяющие условию Р1. можно получить из течений Прандтля - Мейера заменой лучей, исходящих из вершины фиксированного угла, касательными к фиксированной кривой Г, причем векторная скорость в соответствующих точках остается той же ).

) Этот результат получил Less F. Н.. Ргос. СатЬ. PhU. Soc.. 22 (1), 350-382; см. также [6]. стр. 273-278, и пряведеииую там библюграфшо.