) По определению, «множество транзитивности» группы Sf , для некоторой точки у есть множество У всех а(у)[а Так как-у С Г( и изо g S/ i следует ТТб то множество всех Y (У)) = (Т) (У) совпадает с множеством всех 0(7(у)), и, следовательно, тоже является множеством транзитивности группы S/ .

) См. [78], [34. VI.

Рассматривая все в малом, предположим, что подмножества транзитивности подгруппы представляют собой Л-мерные

подпространства постоянных y„+i, у„, т. е. они параллельны гиперплоскости {уи • • •, Ул) для некоторого h. Предположим, далее, что ввиду инвариантности системы (63) относительно можно свести интегрирование системы (63) к интегрированию системы

= G;(y/,t.. Уп). .....«1 (65)

и квадратурам. Мы покажем, что тогда аналогичное утверждение справедливо для 5,.

Возможны два случая. Если подмножества транзитивности группы Si А-мерны, то наше утверждение тривиально.- В противном случае, поскольку нормальная (т. е. инвариантная) подгруппа группы 5;, множества транзитивности) подгруппы нетривиально преобразуются подгруппой Г<. Выбрав надлежащим образом систему координат, мы можем предположить, что Ti осуществляет переносы Ул+1->Ул+1 + а; Ул+2> Уп не изменяются. Следовательно, как и для системы (64), мы можем свести интегрирование системы (65) к интегрированию системы

-Gj{y,,2, Уп)- [у = Л + 2, .... й] (65)

и квадратуре Ун+\ = f О+АУн+2(0> yn{f})dt. Этим завершается доказательство по индукции следующей теоремы.

Теорема 2 (Бьянки)). Пусть система обыкновенных дифференциальных уравнений 2 порядка п инвариантна относительно некоторой разрешимой группы Ли. обладающей т-мер-ными множествами транзитивности. Тогда интегрирование системы 2 можно свести к интегрированию системы порядка (п - т) и к квадратурам.

В § 95 Г, это группа х->-х-\-а, - группа у->у-\-Ь, Гз - группа е->9-)-а, л:-»-л:cos а - у sin а, у ->-л: sin a-fy cos я, Г4 - группа t-tfk, х-х, v-lv и т. д.

§ 97. Заключение

Просматривая снова гл. IV и V, мы начинаем понимать, какое большое значение имеет для гидродинамики понятие группы.

Так, это понятие лежит в основе всего анализа размерностей и моделирования; оно дает также значительное обобщение этих теорий в виде инспекционного анализа.

Далее, группы симметрии позволяют уменьшить число независимых переменных, входящих в уравнения в частных производных, непосредственно с помощью метода поиска симметричных решений и метода «отделения переменной времени» и косвенно -с помощью обратных методов. Кроме того, метод поиска симметричных решений в общем случае заведомо дает решения в малом (§ 89).

Даже после того, как число независимых переменных сведено к одному, так что дальнейшее упрощение с помощью предыдущих методов уже невозможно, полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений часто легче всего проинтегрировать, используя теоретико-групповые соображения.

Указанные выше методы применимы к уравнениям как аналитическим, так и неаналитическим, как линейным, так и нелинейным; таким образом, они свободны от ограничений, накладываемых на обычные методы разложения в ряды или представления интегралами. Поэтому теория групп играет фундаментальную роль в решении дифференциальных уравнений гидромеханики.

Наконец, в гл. VI мы попытаемся показать, что теория групп лежит также в основе классических уравнений движения твердого тела в идеальной (т. е. несжимаемой невязкой) жидкости.

Мы надеемся, что в будущем в еще большей мере выяснится связь гидромеханики с теорией групп.

Глава VI ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ

§ 98. Присоединенная масса сферы

Качественно представление о присоединенной массе общеизвестно. Например, пусть мы опустили легкое весло в спокойную воду и затем сделали гребок. Всем известно из опыта, что кажущаяся инерция (т. е. сопротивление ускорению движения) весла при движении его в воде значительно увеличивается. Эта увели-чивщаяся инерция как раз и называется «кажущейся массой» весла, а разность между кажущейся и действительной массой называют «индуцированной» или «присоединенной массой».

Точное математическое определение присоединенной массы впервые дали Грин и Стоке более ста лет назад). Ход их рассуждений был примерно таков.

Рассмотрим сферу массы пг и радиуса а, движущуюся со скоростью V в несжимаемой невязкой жидкости плотности р (на протяжении всей этой главы мы будем рассматривать лишь безвихревые течения такой «идеальной жидкости»). Не ограничивая общности, мы можем считать, что движение направлено по оси сферической системы координат. Потенциал скоростей для жидкости, покоящейся на бесконечности, совпадает с потенциалом диполя, который в сферических координатах имеет вйД

и-ЧГ. (1)

Действительно, легко проверить, что нормальная производная потенциала dU/dr = vcos представляет собой нормальную составляющую скорости точек на поверхности сферы (§ 4). Радиальная и трансверсальная составляющие скорости в произвольной точке жидкости равны соответственно

ау cos О J. af sin 6

"г- 3 «в - г дд ~ 2гз

) Green Q., Mathematical Papers, стр. 315 (1833); [13], т. 1, стр. 17 (1843). Более полную библиографию см. в 17], п. 92,