Мизесом). Однако многие результаты теории еще далеко не ясны. Кроме неразъясненной сингулярности у передней кромки, к ним относится также следующий парадокс.

Парадокс пограничного слоя. Теоретически при выводе уравнения (14) предполагается, что отношение Ь/х толщины пограничного слоя 8 к длине х стремится к нулю. Экспериментально же показано, что если 5/а:<0,01, то пограничный слой становится турбулентным и уравнение (14) не удовлетворяется).

Например, пограничный слон остается ламинарным вдоль корпуса корабля и вдоль крыльев самолета во время полета всего на расстоянии нескольких сантиметров! Эту турбулентность пограничного слоя можно связать, как мы сейчас увидим, с турбулентностью в трубах.

§ 28. Парадоксы Эйфеля и Дюбуа

Представление о том, что сопротивление снаряда D должно быть плавно возрастающей функцией скорости снаряда у, весьма старо. Так, во многих учебниках можно найти «доказательства» (с помощью анализа размерностей, см. § 61) того, что сопротивление D должно быть пропорционально v при малых скоростях и пропорционально при больших скоростях. Поэтому в высшей степени удивительным показался открытый в 1912 г. Констанци и Эйфелем ) следующий парадокс.

Парадокс Эйфеля. При числах Рейнольдса, близких к критическому числу Ке,ф. ~ 150 000, сопротивление сферы фактически убывает с возрастанием скорости.

Два года спустя Прандтль показал, что это падение сопротивления зависит от возникновения турбулентности в «пограничном слое» около сферы и эта турбулентность может быть вызвана путем увеличения шероховатости сферы или же при помощи дополнительной турбулизации потока. Действительно,

) ZAMM, 7 (1927), 425-427 Эвристическое исследование сингулярности для течения вблизи передней кромки плоской пластинки см. С а г г i е г G. F., Lin С. С. Quar. Appl. Math., в (1948), 63-68.

*) Ср. [43], стр. 32-33. Другие трудности, возникающие при наивном применении ~есрии, упомянуты там на стр. ПО-112. По поводу дальнейших затруднеь.чй см. также Stew art son К., /. Math. Phys., MlT. 36 (1957), 173-191.

) Eiffel G„ Comptes Rendus, 155 (1921), 1597-1599. Объяснение Прандтля см. в [II], т. 2, п. 63, или Gott. Nadir., Math.-Phys. Щ. (1914), 177-190.

§ 29. Регу.гирование пограничного слоя 63

МОЖНО связать число Re,.,.. 150000 парадокса Эйфеля с RSkp.::: 1700 для турбулептпостн в трубах посредством сопоставления толщины ламинарного пограничного слоя 8 диаметру трубы d. Если Re = HcoX/v есть число Рейнольдса основного течения на расстоянии х от передней кромки, то из уравнения (14) следует 8 (л:) ~ 4 Vvx/tt, и тогда число Рейнольдса для пограничного слоя определяется выражением Re.5 = ubjy ~ 4 V uxl. Отсюда o/A;~4/Re, а число Рейнольдса из парадокса Эйфеля ReKp. 150000 приближенно соответствует числу Re8~ ~4 VRep. с=:1600, что вполне согласуется с Renp. для турбулентности в трубах. Это открытие объясняет также следующий более старый парадокс.

Парадокс Дюбуа. Сопротивление палки, которую удерживают неподвижно в потоке, имеюием скорость v, обычно меньше, чем сопротивление той же палки, которую тянут с той же скоростью v в стоячей воде..

Этот парадокс особенно интересен потому, что на первый взгляд кажется, будто он противоречит основному принципу механики Ньютона - инвариантности всех законов при переходе к равномерно и поступательно движущимся осям координат. Вероятно, потому что Леонардо да Винчи) признавал этот принцип, он утверждал равносильность двух указанных выше случаев - хотя это сразу опровергается наблюдением.

В настоящее время объяснение парадокса Дюбуа считается известным. Потоки жидкости всегда более или менее турбулентны; это приводит к понижению сопротивления по той же (не объясненной математически) причине, по которой понижается сопротивление при обтекании сферы, как было показано Прандтлем. Выражаясь современным языком, свободная турбулентность потока вызывает переход к турбулентному движению в пограничном слое. Это в свою очередь задерживает отрыв потока, сужая таким образом «след» и уменьшая связанное с этим лобовое сопротивление.

§ 29. Регулирование пограничного слоя

Первоначально (см. прим. 1) на стр. 61) Прандтль считал свою теорию пограничного слоя мостом, связывающим классическую теоретическую гидродинамику п динамику реальных

) Мае Curd у е.. The Notebooks of Leonardo da Vinci, New York, 1941. стр. 503. Леонардо также заметил подобие воздуха и воды (там же. стр. 645).

) См. [3], гл. 12 и [43], гл. 13, где содержится более полное введение в рассматриваемый вопрос. Относительно идей Прандтля см. [II], т. 2. п. 50-52 и 91-93.

жидкостей. Согласно теории, при неограниченном возрастании числа Рейнольдса Re пограничный слой должен стремиться стать бесконечно тонким. Отсюда следует, что при достаточной изобретательности мы в состоянии регулировать этот пограничный слой произвольно малым усилием так, чтобы аппроксимировать течения Жуковского с нулевым сопротивлением и большой подъемной силой. Для достижения этой цели было проведено огромное число тщательных исследований и экспериментов; некоторые из них мы сейчас вкратце рассмотрим).

Наиболее известным является то соображение, что сопротивление можно уменьшить при помощи улучшения обтекаемости. Под этим мы понимаем подбор для крыла самолета такого очертания, которое сводит к минимуму градиент противодавления. Это должно было бы задержать отрыв потока и таким образом уменьшить лобовое сопротивление, позволяя избежать застойной области у передней кромки либо отрыва вблизи нее. На практике это достигается тем, что передняя кромка округляется, а остальная часть тела постепенно суживается до острой задней кромки.

Опасность появления застойной области, которая уменьшает подъемную силу, равно как увеличивает лобовое сопротивление, прежде всего возникает при больших углах атаки. Для того чтобы задержать появление застойной области, весьма полезно также слегка искривить профиль крыла книзу. В предельном случае профиля в виде дуги окружности легко убедиться в том, что этот прием позволяет избежать бесконечного значения скорости на передней кромке; в общем случае течений Жуковского это приводит к значительному уменьшению градиента противодавления на верхней (подсосной) стороне.

Главной задачей национальных лабораторий в течение 1910-1930 гг. было создание оптимально обтекаемых очертаний для самолетов, летавших со скоростями не более 400 км/час (когда можно было пренебречь эффектами сжимаемости).

Для анализа экспериментальных данных и проектирования новых опытных конструкций большим подспорьем был расчет распределения давления согласно теории Жуковского, а следовательно, по уравнениям Эйлера. Однако ценность таких расчетов не в определении значений подъемной силы, лобового сопротивления или момента (ср. § 8), а в том, что они позволили указать на переход к турбулентности и на отрыв потока в по-