НЗ положительных результатов формулирует следующая ) теорема (мы просим прощения у читателя за абстрактную математическую терминологию, которой мы воспользуемся ради краткости).

Теорема 1. Пусть А= Г X £ есть прямое произведение своих подпространств Г и Е и пусть для каждого фиксированного Е группа G преобразований пространства X транзитивная) на множестве (у.*), где переменная Г. Если дифференциальное уравнение D [и] = О, определенное в X, инвариантно относительно G, то на Е существует дифференциальное уравне ние Ь[И] = О порядка не более чемО[и\ = О и такое, что и(\) = = u(y, I) = (У() удовлетворяет уравнению D[u] = 0 тогда и только тогда, когда U (?) удовлетворяет Л [t/] = О для % Е.

Доказательство. В окрестности каждой точки х = = (Y, I) из X можно ввести в X локальные координаты 1i, . .., 7,. и 1, .. ., Е„ г. Всякая р-я частная производнаяХ(Р)[и] по этим координатам будет иметь простой вид Г*"[и] ju], где

р(т> ip-m) - цастные производные по координатам ii, и п-г для Г и £ соответственно. Отсюда всякий опе-

ратор в частных производных D = Ф[X\\ Х/] порядка q на функциях «(х), определенных на X, можно записать в виде соотнощения

D = ¥{?(""),..., rf); E{-"), .... Ep-s)}, (39)

которое представляет собой функцию частных производных на Е порядка не больше q.

Но те функции f/() = u(y, ), значение которых в любой точке X = (Y, I) зависит только от у (т. е. функции, инвариантные относительно G), оператор Ej переводит в другие функции того же класса, а оператор Fj (группа G транзитивна) переводит их в 0. Поэтому для таких функций оператор D эквивалентен дифференциальному оператору на Е, полученному отбрасыванием всех членов, в которых ntj > 0. Этим теорема доказана.

Следствие. Если задача D [ы] = О корректна для некото-р )го класса краевых условий, инвариантного относительно G, то корректна и задача А [и] = 0.

Хотя при доказательстве локальных теорем существования

) См. также Morgan J. А., Quar. J. Math., 3 (1952), 250-259. Если дифференциальные уравнения линейны и группа G компактна, можно подойти к вопросу иначе -с точки зрения интегриоовання на группах.

) Это означает, что для данных (г, в) и (у , «) в С существует такое g, что g(r, «)=/т «)• Мы предполагаем, что Г и £ -дифференцируемые многообразия,

) Автор не изучал вопроса, какие требуются условия для того, чтобы избавиться от трудностей, которые могут возникнуть в случае таких обыкновенных дифференциальных уравнений, как у + у + \ = Q, «степени» выше первой.

*), Hadamard J., Le probleme de Cauchy. Paris, 1932, гл. I [или Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений; М.-Л., 1950,- Прим. ред\

ДЛЯ обыкновенных дифференциальных уравнений аналитичность несущественна), в теоремах существования для уравнений в частных производных такое условие часто существенно.

В случае аналитических уравнений с частными производными (и аналитическими группами симметрии) уравнение (39) также будет аналитично. В этом случае для многих задач с начальными условиями мы располагаем хотя бы локальными теоремами существования. Так, предположим, что все производные по времени входящих в уравнение функций ф,(х; /), х = (Х.....х„) выражаются через 9j и их первые производные по пространственным координатам, так что можно записать уравнение

Тогда теорема существования Кощи - Ковалевской 2) утверждает, что уравнение (40) имеет одно и только одно локальное аналитическое рещение для данных аналитических начальных условий ф,(х; 0) при t = 0.

А теперь предположим, что уравнение (40) инвариантно относительно группы G. Пусть <р(х; 0) = О/(х) есть множество аналитических начальных условий, инвариантное относительно G. Тогда единственное локальное рещение, которое существует, согласно предыдущей теореме, тоже будет инвариантно относительно G. Следовательно, мы имеем локальную теорему существования (и единственности) для приведенного дифференциального уравнения, полученного методом поиска симметричных рещений, если только таковая теорема имеется для первоначальных дифференциальных уравнений.

Кажущееся незначительным ограничение, что производные по пространственным координатам в уравнениях (40) должны быть первого порядка, на самом деле оказывается весьма сильным. Так, из него следует, что система (40) должна быть гиперболического типа. В случае сжимаемой невязкой жидкости это выполняется, чего нельзя сказать, например, о несжимаемой невязкой жидкости или любой вязкой жидкости. Для того чтобы строго установить даже локальную корректность метода поиска симметричных решений, нужны дальнейшие исследования в теории уравнений в частных производных.

§ 90. Теория групп и метод разделения переменных 181

§ 90. Теория групп и метод разделения переменных

Решения физических задач, обладающие внутренней симметрией относительно некоторой группы, можно математически упростить с помощью связанного с этой группой выбора переменных. Мы покажем теперь, каким образом это приводит к методу «разделения переменных», который широко применяется в гидродинамике.

Рассмотрим, например, инвариантность уравнений Эйлера - Лагранжа для невязкой сжимаемой жидкости относительно группы

t-at, Xi->axi; р, р, U без изменений. (18)

По определению, частные «автомодельные» течения, инвариантные относительно группы (18), можно выразить в виде

«,=/i(x). р=р{г\ р = 9(р) = р(рШ (41)

У = (Х,. Х2. Хз) = (. т-)=т- (42)

Очевидно, (42) есть частный случай соотношения

Х = Л(/)х. (43)

Найдем теперь все нестационарные течения невязкой жидкости, формально допускающие разделение переменных по формулам (41) и (43).

Наш первый результат будет отрицательного характера. Оказывается, что всякое такое течение инвариантно относительно группы (18): обобщение соотношения (42) до вида (43) ничего не дает.

Очевидно, что для любой дифференцируемой функции F{x) из соотношения (43) следуют равенства:

дР Л дР дР . дР

где суммирование производится по индексу к. Поэтому уравнение неразрывности dpldt div(pu) = О эквивалентно уравнению

(ж)Е + Е] = 0. (45,

если справедливо соотношение (43). Аналогично, если пренебречь силой тяжести, уравнения движения невязкой жидкости эквивалентны уравнениям

Xjdui . у uduj , dp

= 0, (46)