Ощущается необходимость ясным образом отделить соображения подобия и размерностей от постановки задачи, связанной с рассмотрением конкретного класса явлений по существу вопроса и не связанной непосредственно с подобием. Постановка задачи может быть различной и может быть правильной или нет в зависимости от характера и цели исследования. Для каждой постановки методы размерности дают свои выводы.

К сожалению, в учебной литературе по этим вопросам имеются лишь попутные и отрывочные замечания или же допускается кустарное, логически необоснованное и неотчетливое изложение. В результате в этой области появилось множество путаных, смутных и наукообразных сочинений.

В книге «Методы теории размерностей и теории подобия в механике», вышедшей в 1944 году), автором настоящего предисловия была предпринята попытка внести некоторый порядок в рассматриваемые теории. Ряд примеров и соображений, содержащихся в этой книге, можно найти и в предлагаемой книге Биркгофа. Еще до этого в книге Бриджмена «Анализ размерностей» (2-е английское издание вышло в 1931 г.)) было дано систематическое изложение теории размерности. Однако книга Бриджмена оказалась недостаточной для установления правильной точки зрения на связь между теорией размерности и теорией подобия. После ее появления неоднократно высказывалось мнение, что следствия из анализа размерностей и из теории подобия не являются эквивалентными. От этих сомнений не свободен и Биркгоф в предлагаемой книге (см. гл. IV).

В действительности, однако, этот вопрос вообще не возникает, если система определяющих параметров для выбранного класса явлений (в пределах нужной точности) уже установлена. Для этого, однако, требуются предварительные исследования существа задачи с обязательным использованием частных особенностей изучаемых явлений. В частности, к такого рода исследованиям относится и рассматриваемый в книге Биркгофа «инспекционный анализ». Установление системы определяющих параметров связано с общей схематизацией явления, с использованием различного рода разведывательных гипотез, экспериментальных данных, статистических выводов, с описанием изучаемых процессов точными или приближенными уравнениями), краевыми и начальными условиями, различными огра-

) Следующие издания вышли в 1951, 1955 и 1958 гг.

) Русский перевод вышел в 1934 г.

Как известно, система определяющих параметров и критерии гюдобия могут быть одинаковыми, когда действительные физические связи постановки задач и уравнения, описывающие процессы, разные, причем эти уравнения можно варьировать в довольно широких пределах.

ниченнями физической природы и т. п. Такое исследование по существу опирается на разнообразные физические условия и соображения, специфичные для частных классов явлений, и поэтому его естестгенно включить в соответствующие специальные разделы науки. Выделение системы определяющих параметров легко осуществляется попутно в процессе проникновения в механизм изучаемых явлений и является составным элементом постановки задачи.

При такой трактовке вопроса и при обычном определении физического подобияне могут возникнуть какие-либо противопоставления анализа размерностей и теории подобия. Соображения этих двух теорий могут касаться лишь общих выводов, отделенных от частных свойств и особенностей конкретных явлений, а содержание теорий в таком понимании становится полностью эквивалентным. Биркгоф в своей книге не вполне ясно и отчетливо излагает эти вопросы, что, впрочем, связано скорее с терминологией, чем с существом дела.

В механике при развитии научных теорий крайне важно вводить новые понятия, определения, системы отсчета, системы единиц измерения и т. п., используя богатый опыт, накопленный в процессе практической деятельности и общего хода исторического развития науки, а также учитывать необходимость сделать формулировки задач и результатов исследования наиболее удобными. Иначе говоря, характер методов исследования должен оправдываться существом дела. С этой точки зрения различного рода практически неинтересные, патологические или искусственные абстрактные случаи, с которыми мы на практике никогда не вгтречались и, по-видимому, не встретимся, должны исключаться определениями и самой постановкой задачи. В некоторых мес-

) На практике удобно пользоваться следующим определением динамического или вообще физического подобия. Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой системе. Для осуществления пересчета необходимо знать «переходные масштабы». Это определение удовлетворяет практическим требованиям и сильно упрощает и сокращает общую теорию (см. [14*]).

Указанный вывод сохраняет свою силу также и в случае, когда подобие двух явлений определено в обобщенном смысле, т. е. когда переход с обычным пересчетом по известным масштабам возможен только для некоторой специальной системы характеристик, полностью определяющей явление и позволяющей легко находить любые другие характеристики, которые, однако, нельзя получить простым умножением на соответствующие масштабы при переходе от одного из двух подобных явлений к другому.

В частности, подобие, соответствующее аффинным преобразованиям координат, может быть рассмотрено с помощью анализа размерностей при применении различных единиц измерения вдоль различных осей декартовой системы координат.

тах Биркгоф рассматривает такие примеры, излагая их иногда не вполне четко (см., например, формулу (6) § 61, а также § 65).

В естественных науках поле возможных соотношений и всякого рода уравнений весьма разнообразно, однако с точки зрения возможных приложений теории размерностей и подобия это поле приложений вполне обозримо, и можно прямо сказать, что во всех правильно развиваемых теориях не встречается таких особых примеров, которые рассмотрел Биркгоф.

Соответствующее и естественное определение изучаемых физических закономерностей дает как следствие структуру соответствующих уравнений, представленных в безразмерном виде. Определяющие параметры, переменные или постоянные, выделяемые постановкой задачи, можно рассматривать как величины, в известном диапазоне не зависящие одна от другой. Определяемые величины можно рассматривать как величины, выражаемые с помощью некоторых математических операций через определяющие. Соответствующие функциональные связи между размерными величинами обладают вполне определенной структурой, обусловленной независимостью этой связи от выбора основных единиц. Эта структура связана с существованием в классе рассматриваемых явлений своих собственных характерных величин - собственных единиц измерения, не зависимых от условных единиц измерения, выбранных на основе специального соглашения.

Стандартизация и унификация единиц измерения удобна и необходима с многих хорошо известных точек зрения. Вместе с этим теория размерностей и подобия указывает, что для различных классов вполне определенных явлений выгодны свои собственные характерные единицы измерения, связанные с существенными величинами, характерными для объектов и явлений данного класса. Использование собственной системы единиц измерения часто очень выгодно, и к нему сводится описание явлений и законов в безразмерной форме - прием, плодотворный и широко внедренный в настоящее время в науке и технике.

Особенное значение имеют случаи, когда число основных характерных независимых постоянных размерных параметров мало и недостаточно для получения числа независимых безразмерных переменных величин, равного числу «езависимых переменных размерных величин; в этом случае возникает автомо-дельность явления, что вносит существенные упрощения в задачи теоретического или экспериментального исследования.

В книге Биркгофа сделана попытка привлечь к проблеме интегрирования уравнений гидромеханики методы теории групп, что позволяет обозреть с единой точки зрения свойства различ-