) Это было высказано Ehrenfest [61], стр. 2б\, но ве привлекло внимания, так как она не указала никаких приложения. Элементарные сведения о группах см. в [45], гл. VI; об ортогональных матрицах см. там же, гл. VIII. [См. также Курош А. Г., Теория групп, М.-Л., 1953; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М.-Л., 1948. -Ярил. ред.].

») Это положений хотя и широко используется математиками и физиками, редко формулируется явно; см., однако, В о и 1 i g а п d С. Thiorie Qinirale des Croupes, Paris, 1935, стр. 3

ординат - известный принцип, который весьма существен при математическом исследовании больщннства физических задач. В некоторых частных случаях можно воспользоваться инвариантностью относительно конформных и афинных преобразований (см.§ 74).

Вообще говоря, инспекционный анализ применим к любой группе преобразований ). Под группой преобразований мы разумеется, понимаем (см. прим. 1) на стр. 122) множество преобразований, содержащее тождественное и все обратные преобразования и произведения любых двух своих элементов.

Наше утверждение основывается на логической аксиоме, о которой шла речь в § 1, гипотеза (С) и в § 26, а именно: если гипотезы теории инвариантны относительно группы G, то инвариантны относительно G и их следствия). Обратно, множество всех взаимно однозначных преобразований, оставляющих без изменения какую-либо систему уравнений, образует группу.

Самой важной группой в механике после «группы подобия» преобразований вида (22) является десятипараметрическая группа Галилея - Ньютона. Эта группа порождается трехпара-метрической подгруппой S пространственных переносов

x\=X + Ci [/=1,2,3]; (24)

одной ар аметрической подгруппой Т переносов отсчета времени

t = i-\-c, (25)

трехпараметрической подгруппой R поворотов пространства

д:; = 2а<Л. (26)

где lluihll - наиболее общая квадратная ортогональная матрица третьего порядка, и трехпараметрической подгруппой М группы преобразований к осям, движущимся поступательно с постоянной скоростью

x\x,-b,i. (27)

Теперь легко проверить, что три закона движения Ньютона инвариантны относительно преобразований (24) -(27) и что эти

) Кажущийся парадокс Дюбуа не ян.1яется контрпримером; см. § 28. ) [46]. стр, 13-14; см. там же. стр. 50. г к з

преобразования не иэ1меняют определений таких физических параметров, как плотность, вязкость и т. д. (предполагается, что масса остается неизменной). Следовательно, теоретическая механика Ньютона инвариантна как относительно группы Гали-лея - Ньютона, так и относительно группы преобразований (22) динамического подобия. Этот принцип был подтвержден на опыте многими способами с очень большой точностью, за исключением тех случаев, когда скорости движения сравнимы со скоростью света).

§ 68. Теория моделирования

Мы указали два основных преимущества инспекционного анализа: он дает нам возможность оправдать предположение IV анализа размерностей, позволяя проверить инвариантность уравнений, определяющих данную краевую задачу, относительно преобразований (1); а также позволяет рассматривать «подобие» яе только такого простого вида, как (1). Инспекционный анализ имеет и третье преимущество: он дает в принципе рациональный метод проверки справедливости предположения II.

Хотя, как мы видели, предположения I, II и IV, по-видимому, в общем допустимы в механике жидкостей, с предположением III дело обстоит иначе. Кроме того, анализ размерностей не дает основания а priori решить вопрос о том, определяют ли переменные Qi, .... Q„ величину Qq достаточно точно. Так, Бриджмен) замечает вскользь, что этот кардинальный вопрос «не может быть разрешен философом на кафедре», а его можно решить только на основе физического опыта. Мы проиллюстрируем это затруднение большим экспериментальным материалом.

Для того чтобы проверить справедливость предположения III с помощью инспекционного анализа, в принципе можно действовать следующим образом. Пусть известно, что некоторое течение жидкости можно приближенно рассчитать, решив соответствующую краевую задачу в смысле § 1. Тогда мсжно попросту проверить инвариантность дифференциальных уравнений и краевых условий относительно преобразований некоторой группы (скажем, преобразований (22)). Если они инвариантны и краевая задача корректно поставлена, то предположение III справедливо.

Таким образом, инспекционный анализ имеет то преимущество, что он укладывается в общую схему теоретической гидро-

S 69. Частный инспекционный анализ 139

динамики. Основное ограничение, накладываемое на его применимость, обусловлено, как мы уже выяснили в гл. I-II, тем обстоятельством, что все еще слишком мало задач теоретической гидродинамики сведены к таким краевым задачам, корректность которых доказуема.

§ 69. Частный инспекционный анализ

Мы приведем сейчас пример, иллюстрирующий применение как инспекционного анализа, так и способы устранения затруднений, возникающих при этом.

Рассмотрим уравнения Навье - Стокса (23) для несжимаемой вязкой жидкости. Согласно Руарку [56] их можно привести к безразмерному виду следующим образом.

Пусть V, L и Р соответственно скорость, длина и давление на модели, измеренные, по предположению, на границах течения чсидкости. Если умножить уравнения (23) на L/V, чтобы придать этим уравнениям безразмерный вид, и ввести безразмерные переменные uf = ujV, t=VtlL, x, = x,IL, p=plP и безразмерные постоянные Re = VL/v, Fr= VILg и Q* = 2PlpV, TO получим уравнения

Df Re Fr V г / 2дд:;

(28)

где gilg - направляющие косинусы силы тяжести.

Безразмерные дифференциальные уравнения (28) находятся в замечательном соответствии с техническим опытом: мы можем отсюда вывести три наиболее важных ориентирующих правила, используемые при моделировании). Так, мы видим, что если влияние силы тяжести, сжимаемости и кавитации незна-чительно, то модель должна иметь то же самое число Рейнольдса Re. Если не имеют значения сжимаемость, кавитация и вязкость, то моделировать надо по числу Фруда Fr.

Если можно пренебречь сжимаемостью и вязкостью, но надо учитывать гравитационные и кавитационные эффекты, то следует сохранять неизменным как число Fr, так и «число кавитации» Q* (см. § 72. 78).

Инспекционный анализ делает правдоподобным предположение, что те или иные величины не играют роли как раз тогда, когда малы соответствующие коэффициенты в уравнениях (28),

) См. [II], т. 2, гл. I, по поводу аналогичного вывода. Рецепт там таков: нужно сохранить неизменными «отношения сил>; ни величина Q*, ни диф-ференциа.1ьные уравнения не рассматриваются в явном виде.