ние граничной поверхности с длиной волны к = 2и:/й должно возрастать по экспоненциальному закону exp[I{K)t}, где

l«l=XF(-.-)-fe*-f. . СЗ)

причем 7 есть натяжение на граничной поверхности, а g -уско-)ение силы тяжести. Его доказательство приведено в работе 7], п. 266-267.

В случае следов, когда р = р и 1 = 0, очевидно, мы имеем = k\u - u\l2 > 0. Граничная поверхность в высшей степени неустойчива, скорость нарастания возмущений с очень короткой длиной волны не ограничена. Так, например, на расстоянии в п длин волны, \u-uU = п\ = 2itn/A, скорость нарастания определяется множителем е"" в относительном движении).

Рис. 14. Неустойчивость по Гельмгольцу и Кельвину.

Волны, вызываемые ветром. Кельвину мы обязаны классическим применением его формулы (13) для расчета минимальной скорости ветра, требующейся для возникновения ряби на поверхности спокойной воды. Вероятно, каждому доводилось наблюдать, что при достаточно легком бризе поверхность прудов остается зеркально гладкой. Теоретически можно показать, что для равномерно дующего ветра при обычном отношении плотности воздуха к плотности воды, равном р7р = 0,00126, из формулы (13) следует, что возмущения всех длин волн будут безразлично устойчивы тогда и только тогда, когда и - и < < 646 см/сек. В действительности волны возникают при ветрах со средней скоростью, меньшей чем /5 этой величины; простое и убедительное объяснение этого парадокса еще предстоит найти *).

§ 42. Кавитация

Когда твердое тело движется в жидкости с большой скоростью, его след обычно заполняется газом. Такой заполненный

) Многие струйные течения при, р = О обладают снейтральной устойчивостью», см. Fox J. L., Morgan G. W., Quart. Appl. Math.. 11, 4, 1954.- Прим. ред.

*) Ursell F. недавно дал обзор этой задачи в работе [20], стр. 216- 249; резюме некоторых экспериментальных данных си. тан же на стр. 240.

f 43. Кавитация 87

газом след называют каверной, и решения задачи Гельмгольца описывают обтекание кавериы гораздо лучше, чем они описывают самый след.

Естественным образом каверны возникают при различных условиях. Так, можно сфотографировать (38] заполненные воздухом каверны позади сфер, падающих в воду с высоты двух метров и больше. Заполненные паром каверны образуются позади подводных снарядов, скорость которых превышает, скажем, 30 м/сек. Подобные каверны также обычно образуются на лопастях судовых винтов при давлении на поверхности винта, превышающем примерно 1,5 кг/см, и в таких случаях опасаются разрушения маленьких пузырьков, сопутствующих «возникновению кавитации» как причины эрозии винта. Подобная эрозия (и по той же причине) может происходить при перегрузке гидротурбин. Парадоксально, что «суперкавитационные» винты, работающие при гораздо ббльших давлениях и притом в больших кавернах, можно сконструировать так, чтобы избежать этой эрозии.

Впервые практическое значение кавитации было отмечено примерно в 1900 г. Математический анализ этих явлений основан иа правдоподобном предположении, что заполненные паром каверны образуются благодаря испарению, как только давление в жидкости падает ниже вполне определенного значения - «давление испарения» р„. Математически это эквивалентно условию

р=р„ в каверне; р>р, в жидкости. (14)

(В кавернах, заполненных воздухом, конечно, возможно p>Pv) Руководствуясь этой идеей. Тома ввел) в 1924 г. широко применяемый в настоящее время параметр кавитации (кавита-ционное число)

Qr,-r=- Оба)

где ре -давление во внешней области. Вскоре после этого Аккерет и другие авторы*) показали, что теория течений Гельмгольца применима к кавернам больших масштабов позади твердых препятствий. Но в первую очередь развитию теории кавитации, какой она является в настоящее время, способствовали работы по применению подводных снарядов во время второй мировой войны.

) Thorn а D., Trans. First World Power Conf. (1924), т. 2. 5Эв-551-см. также Taylor Н. В.. Moody L. F.. Mech. Engineering, 44 (1922) 633-640; см. § 72.

*) Ackeret J., Tech. Mech. und Thermodynamik, I (1930), 1-21 и 63-72. В 1932 г. W e i n i g впервые применил модель Рябушинского ю $ 7 к кавитационным течениям.

§ 43. Параметры р7р и Q

Определенные выше эмпирическим путем параметры р7р и Qr, время от времени упоминались в инженерной литературе, но в учебниках теоретической гидродинамики) отсутствовали вплоть до 1945 г. В настоящее время эти параметры дают ключ ко многому при исследовании течений Гельмгольца. Например, при помощи параметра р7р можно объяснить, почему стационарные кавитационные течения и струи жидкостей в воздухе (т. е. двухфазные течения) описываются по Гельмгольцу гораздо лучше, чем следы или, скажем, газовые струи.

В случае скоростных торпед члены, содержащие g и в формуле (13), относительно малы. Следовательно, если р< р, то в первом приближении получим равенство/(Х)=(Лн-и1/2)Ур7р. Это приводит к выводу, что расстояние \и - u\t от точки отрыва до зоны перемешивания, где модель Гельмгольца теряет силу при данной длине волны \, будет пропорционально Vp/p. Для каверн, заполненных воздухом, р/р= 7эО, а для каверн, заполненных паром, р/рcii 30 ООО; следовательно, в обоих случаях, согласно анализу Кельвина, надо ожидать, что неустойчивость свободных линий будет невелика.

Этим теоретически объясняется эмпирическое утверждение Бетца и Петерсона*), что теория струй применима, если р7р<1. Эти авторы основывались на работе Аккерета и на более ранних работах Мизеса, проверявшего теоретические расчеты для струй воды в воздухе. Например, хотя влияние стенок, описанное в § 40, не сказывается в реальных следах, для которых оно первоначально было рассчитано з), оно весьма существенно при наличии реальных каверн.

Практическое применение теории струй зависит также от второго параметра, который совпадал бы с выражением (15а), если бы условия (14) были точными. Если предположить, что условия (14) и уравнение Бернулли выполняются для теоретического двухфазного течения Гельмгольца, то выражение (15а) принимает вид Qc = (« «о)-1. где »/ - скорость на свободной линии тока, а Wo -скорость во внешней

) См. [7], п. 7Э-80 и гл. XII первого издания [8]. Контраст с данными книги [2]. гл. И, поразителен; см. также Ргос Seventh Int. Congress Appl. Mech., London, 1948, т. 2, стр. 7-16.

*) Ingenieur Archiv. 2 (1981), 190-211. Относительно данных Мизеса, подтверждающих формулы, выведенные в § 40, см. Zelfs. VDI, 61 (1917), 447-4о2, 467-473 и 493-497.

*) Volcovici v.. Inaugural dissertation, Goettingen, 1913. Относительно приложений к кавитации см. В i г к h о f f G., Р1 е s s е t М. and SI m m о n s N.. quar. Appl. Math.. 8 (19S0). 161-168 и 9 (1952), 413-421,