§ 52. Неустойчивость по Тейлору 107

нию). Тогда, что почти очевидно, потенциал скоростей

W=A\n(-). А = (32)

характеризует источник нужной интенсивности при / = О, стоки равной интенсивности при / = ± l(ooi и ooj); границы области Г переходят в линии тока.

Что касается сопряженной скорости t,(t), то мы учитываем ее нули и бесконечности в области Г подстановкой, аналогичной подстановке Леви-Чивита (19):

С = (14-2)[ 1пС(1-OlV*-*, 0<С<0,5. (33)

Как и раньше, из принципа симметрии Шварца следует, что функция й {t, С) регулярна в единичном круге / < 1 и ее ряд Тейлора

2(/, С) = ao(C)-\-a(C)i-\-a,(C)t*(33)

суммируется по Абелю при = 1.

Остается удовлетворить условию 11* = 2gy на поверхности раздела, т. е. уравнению Бернулли для свободной границы в стационарном несжимаемом невязком течении. Это условие эквивалентно нелинейному интегральному уравнению относительно неизвестной функции

Х(о) = -Im{2( С)}= -2a2Sin2o -4a,sin4e- ... ,

которая определяется коэффициентами ряда (33).

Это интегральное уравнение аналогично уравнению (25), но более сложно. Найти его приближенное численное решение оказалось трудным делом. Вычисления привели к выводу), что i*olVg< =0,23 ± 0,01, что вполне хорошо согласуется с немногими имеющимися экспериментальными данными*).

§ 52. Неустойчивость по Тейлору

Когда р > р, гравитационный член в формуле (13), очевидно, вызывает неустойчивость. Эта неустойчивость просто-напросто такая же, как у воды в ведре, перевернутом вверх дном!

Так как поступательное движение области с ускорением а оказывает действие, эквивалентное ) наложению поля тяготения

) Birkhoff С, Carter D., /. Rat. Mech. Anal., в (1957), 769-780; см. также Garabedian P., Proc. Roy. Soc. A241 (1957), 423-431

•) H. E. Жуковский в [23*] получил точное решение подобной задачи - Прим. ред.

») Synge J. L., Griffith В. А.. Principles of Mechanics. 2-е изд.. McGraw-Hill. 1949. § 53.

) Так как впервые ее физическое значение выяснил Тейлор; Ргос. Roy Soc. А201 (1950). 192-196. Дальнейшие разъяснения и литературу см. в [171, гл. XI, § 12, 13.

*) [12], т. VI, стр. 504; [7], п. 91 а; [17], гл. XI, § 1-3.

g =» -а, то в ускоренном течении предыдущий результат можно интерпретировать следующим образом. Плоская поверхность раздела двух жидкостей с плотностями р, р неустойчива, когда имеется ускорение, направленное от более легкой жидкости к более тяжелой. Такая неустойчивость называется неустойчивостью по Тейлору ).

Двумерная неустойчивость возмущений первоначально плоской поверхности раздела адекватно описывается формулой (13), пока амплитуда возмущений остается бесконечно малой. При начальных синусоидальных возмущениях наиболее заметным признаком нелинейной тейлоровой неустойчивости является возникновение закругленных на концах столбиков, разделенных падающими струями. Любопытно, что наличие этих столбиков приближенно согласуется с тем анализом подъема плоских пузырьков, который кратко изложен в § 51.

Тейлорова неустойчивость весьма заметно проявляется в пульсации сферических пузырьков. Такие пузырьки играют главную роль как в кавитационной эрозии (§ 42), так и в подводных взрывах. В предположении сферической симметрии (снова гипотеза (С)!) Рэлей) получил простые дифференциальные уравнения для радиуса b{t) как функции времени, применимые к обоим типам пузырьков. Однако, если возмущения сферической границы разложить по функциям Лежандра р/,(со5ф), то можно показать, что амплитуды возмущений (t) удовлетворяют уравнению

йй;+ЗЬ*й-(А-1)ЙЙл = 0. (34)

(Это уравнение отличается от уравнения (13) для плоского случая членом Зbb.) Пузырьки, возникающие при подводном взрыве, сначала чрезмерно расширяются, когда вода выталкивается наружу, а затем снова сужаются примерно до начального радиуса.

Вблизи минимального радиуса происходит резкое замедление течения внутрь пузырька, т. е. происходит ускорение в направлении более плотной жидкости. Это, очевидно, делает сферическую поверхность раздела неустойчивой по Тейлору,- обстоятельство, которое очень ослабляет последовательные пульсации пузырька.

Случай пузырька, заполненного паром и сжимающегося «в точку», как предполагается при идеализированной кавита-

§ 53. Масштабные эффекты при входе в воду 109

ционной эрозии, менее ясен, так как тут всегда имеется ускорение, направленное от более плотной жидкости к менее плотной. Тем не менее и в этом случае имеем неустойчивость из-за отрицательного торможения), так как по существу Ь <0.

В предшествующих рассуждениях мы не только пренебрегали многими физическими переменными, которые могут иметь значение (например, поверхностным натяжением), но и ограничивались бесконечно малыми возмущениями. Хотя достигнут некоторый успех в исследовании возмущений конечной амплитуды, в нелинейной теории пока еще не все понятно.

§ 53. Масштабные эффекты при входе в воду

Большинство приведенных выше экспериментальных фактов подтверждают мнение о том, что математические решения обобщенной задачи Гельмгольца приближенно применимы к реальным кавитационным течениям. Упомянутые до сих пор исключения были связаны с особенностями малых пузырьков"). Кроме того, рассуждения в § 43 дают серьезное основание предполагать, что теория струй применима в случае, когда р/р мало. Если мы хотим согласовать это предположение с опытными актами, то приходится признать, что число 0,0013 не «мало», частности, есть два гидродинамических явления, которые наблюдаются при входе тел в воду в атмосферных условиях и отсутствуют, если воздух удален. Следовательно, никакая математическая теория, пренебрегающая отношением р/р- < 0,0013, не может их правильно объяснить. Более важным из этих явлений считается поверхностное смыкание. Если в спокойную воду падает небольшой шар со скоростью 3-6 м/сек, то каверна сначала смыкается по схеме рис. 22, о, так называемое глубинное смыкание. Если же скорость при входе равна 12 м/сек или больше, то каверна начинает смыкаться на поверхности по схеме рис. 22,6. Снимок поля скоростей при смыкании на поверхности воспроизведен на фото II. Впервые явление поверхностного смыкания наблюдал Вортингтон примерно в 1900 г. [33]; позднее Маллок) заметил, что звук, возникающий при глубинном смыкании, напоминает хлопок, а при поверхностном - всплеск.

В 1944 г. Дэвис*), следуя указаниям Тейлора, показал, что если в достаточной мере снизить давление воздуха р, то поверх-

I) Biikhoff С, Quar. Appl. Math.. 13 (1956), 451-453. ) См. § 32, 51 и [32]. Маленькие пузырьки кое-чего да стоят! ) Mallock \V. Proc. Roy. Soc, A95 (1918), 138-143; см. также Harvey E. N. and McMillen J. H., /. Appl. Phys.. 17 (1946). 541-555. *) Неопублнкованннй доклад, отпечатанный на мимеографе.