) Напомним, что Ньютон («Principia Mathematica*, Книга II, отдел 8, предложение 48; русский перевод-в «Собрании трудов А. Н. Крылова», т. VII, М-Л., 1936; см. там же, cip. 480) принимал для изотермического течения закон Бойля, что привело к неправильному выводу скорости звука. Ошибка Ньютона была исправлена Лапласом ([7], стр. 477; в русском издании стр. 596; см. также указанный том «Собрания трудов А. Н. Крылова>, стр. 485, прим. 175).

жидкостей обычно вводится соотношение, связывающее плотность и давление:

р = А(/?) (уравнение состояния). (3)

Баротропные течения. Невязкие жидкости, удовлетворяющие условию (3), могут быть названы баротропными, а движения жидкости, удовлетворяющие уравнениям (1) - (3),- «баротропными течениями». Эти течения встречаются в (приближенно) однородных жидкостях при условиях, которые являются термодинамически обратимыми. (Под «однородной жидкостью» мы понимаем жидкость, имеющую однородное строение, например чистую воду или воздух.)

Именно такие жидкости обычно рассматриваются в акустике н в аэродинамике больших скоростей. Быстрое сжатие и расширение- типичные адиабатические процессы ) в том смысле, что можно пренебречь теплопроводностью. Кроме того, пренебрежение теплопроводностью логически не противоречит пренебрежению вязкостью в уравнении (2), поскольку как теплопроводность, так и вязкость представляют собой молекулярные явления.

В случае идеального газа с термодинамическим уравнением состояния р = pRT и постоянным отношением теплоемкостен Ср/С„ = т элементарные рассуждения дают для адиабатического течения соотношение

р = V За)

- так называемое политропное уравнение состояния для идеального термодинамически совершенного газа. Предельный случай 7 = 1 соответствует изотермическому течению (бесконечная теплоемкость или в бесконечном изотермическом резервуаре бесконечная проводимость).

Уравнение (За) достаточно точно для многих задач газовой динамики; для воздуха т = 1,4. Однако для жидкостей уравнение (3) необходимо брать (приближенно) ввиде(р -Pi,) =*р, где Pv есть давление паров при кавитации (см. § 42).

Соотношение вида (3) является также приемлемым для жидкостей, которые только незначительно сжимаемы (т. е. при ско-

$ 4. Потенциал скорости 21

ростях гораздо меньших скорости звука, особенно в обычных жидкостях). В этом случае можно просто писать

Р = Ро (36)

и говорить об однородной несжимаемой невязкой жидкости. Однако в этом случае уже нельзя выразить все производные по времени через производные по пространственным координатам.

§ 4. Потенциал скорости

Основные уравнения Эйлера (1) -(3) позволяют получить различные фундаментальные следствия, имеющие много важных приложений.

Самым существенным следствием является теорема Гельм-гольца, справедливая для баротропного течения в консервативных гравитационных полях (т. е. прн g = -VG). Эта теорема ([7], стр. 54; [1 *])), т. 1, стр. 149) утверждает инвариантность циркуляции Т =UiidXi, по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, т. е. во всякий момент времени состоящему нз одних и тех же частиц жидкости. Следовательно, если в начальный момент жидкость находится в покое (напри-,чер, вытекает из неподвижного резервуара) и если контур остается все время замкнутым, то циркуляция всегда должна равняться нулю. Это значит, что должен существовать локально однозначный скалярный потенциал скорости U(x, (), т. е. такая скалярная функция точки, что

и{х, t)VU= grad и. (4)

Течения, обладающие таким свойством, называются (локально) безвихревыми). Следовательно, в односвязной области,такой, как область вне некоторого твердого тела в пространстве нли половина симметричной области вне кругового цилиндра на плоскости, скорость и должна быть однозначной функцией во всей области.

В случае баротропных течений при отсутствии внешних гравитационных сил для безвихревого движения [т. е. если выполняется уравнение (4)] можно получить интеграл уравнений движения, так называемое уравнение Бернулли

/ = P(0-iv6/Vf/-, , = hip). (40

) Звездочка обозначает ссылку на дополнительную литературу. - Ярил(.

ред.

) В русской литературе чаще используется термин «потенциальные тс чения>. - Ярил, перев.

Действительно, уравнения движения (без гравитационного слагаемого) представляют собой в точности градиент соотношения (40-

Несжимаемые течения. В случае однородных несжимаемых жидкостей можно обобщить уравнение Бернулли (4) так, чтобы учитывался эффект гравитации. Действительно, для безвихревых несжимаемых течений градиент соотношения

/; = P(0-Po{vf/Vf/++0} (5)

эквивалентен уравнениям движения с гравитационным членом. Более того, в этом случае уравнение (1) сводится к виду divu = О, откуда получаем уравнение

?2f/=0. (6)

Наконец, очевидно, что на любой непроницаемой твердой границе производная

t) (7)

определяется нормальной скоростью движения этой границы.

Для однозначных во всей области функций f/(x) уравнения (6) и (7) представляют классическую задачу теории потенциала, так называемую задачу Неймана. Как мы увидим в § 5 и гл. VI; эта задача имеет большое значение для теоретической гидродинамики. Но прежде отметим, что здесь подразумевается выполненной гипотеза (F) из § 1: предполагается, что задача Неймана должна иметь одно и только одно однозначное решение и(х, t) для разумным образом определенных границ.

Примечательно, что для строгого доказательства этого математического предположения, возникшего из гидродинамических рассмотрений, потребовалось более чем 50 лет. В настоящее время это основная теорема общей теории потенциала ([4], стр. 310-311; [2*]).

Эта теорема показывает, что если несжимаемая невязкая жидкость в начальный момент находится в состоянии покоя, то поле скоростей в любой момент времени зависит только от мгновенной скорости границы и не зависит от предшествующих состояний. Приведенные теоремы показывают также, что движение любой части границы мгновенно оказывает воздействие на весь объем жидкости: скорость сигнала равна бесконечности (это согласуется и с физической интуицией).