§ 43. Параметры р/р и Q 69

области («скорость свободного потока»). Поэтому теоретический параметр кавитации для течения Гельмгольца мы определим выражением

Q = {J-l. (156)

Ясно, что для идеальной жидкости из условий (14) следует Q > 0. Для каверн, заполненных воздухом, эмпирический коэффициент падения давления также всегда положителен и определяется формулой

Q.= -. (15в)

где Ре -давление в каверне. Наконец, эмпирически найдено, что падение давления в следе {ра - р»), упомянутое в § 41 и выраженное в безразмерной форме через коэффициент падения давления в следе

Q. = =. (15г)

заключено между нулем и единицей. Таким образом, за плоской пластинкой значения Qv близки к единице.

Принимая величину Q«, в качестве эмпирического параметра, теорию струй можно плодотворно применить даже к следам. Так, если ввести поправочный числовой множитель (1 -f Q,p), для того чтобы учесть наблюдаемое падение давления в следе за наклонной плоской пластинкой, то формулы теории Кирхгофа хорошо согласуются с получаемыми на практике функциями распределения давлений на передней поверхности ([i7], стр. 28, рис. 3) - по крайней мере если а > 15°, т. е. больше критического угла.

Условие Q > О, очевидно, легко отождествить в случае невязкой жидкости со следующим чисто кинематическим условием, введенным в 1911 г. М. Бриллюэном [19] в связи с исследованием следов ).

Условие Бриллюэна. Скорость принимает максимальное значение на свободной линии тока.

Хотя во всех известных нам практических приложениях выполнено условие Q > О, было бы неправильным предполагать, что условие (14) строго выполняется при любых обстоятельствах. (См. работу [17], гл. XV.)

) Что условие Бриллюэиа выводится из формул (14), указано в работа [2]. стр. 51; см. также § 45.

§ 44. Модели течений при 0Ф9

В случае обтекания пластинки в канале, формула {!2а). можно считать Q положительной величиной, вводя в рассмотрение скорость вверх по течению (равную единице, что достигается выбором единиц измерения) в качестве скорости свободного потока. При таком условии Q = o-*-1>0и 1+Q = v". Таким образом, предположение о том, что при определении коэффициента Со нужно использова1ъ скорость на свободной линии

Раздтяющажя

линия тона

йхзделшщаяся

яитятта

Раздетющаяся

мния топа

Свободная пиния тока Точка торможения

симметрии

Щяс. 15. а-течение Рябушинского; <У-возвратная «руя.

тока, о а* оу эквивалентно введению в Предыдущем параграфе множителя (1 + Qte).

Однако построить течения Гельмгольца с условием Q ФО в бесконечном потоке гораздо труднее. Кроме того, реальные каверны имеют конечные размеры, а построить течения Гельмгольца с конечными кавернами особенно трудно из-за следующего парадокса.

Парадокс Бриллюэна. Кйверны конечного размера, удовлежворяюище условию Бриллюзна, математически невозможны.

Ниже мы кратко рассмотрим доказательство (см. 1191). Поскольку давление внутри каверны минимально (условие Бриллюэна), свободные ЛИНИЙ тока обращены своей вогнутостью в сторону каверны, которая должна быть поэтому выпуклой. Но такая каверна должна иметь критическую точку, в которой схо-

§ 44. Модели течений при Q=hQ 91

дятся две свободные линии тока, с минимальным давлением р,. По теореме Бернулли из этого следует, что ир = 2(р, - р)/р<0 везде, за исключением свободной границы, а это означает, что U = О тождественно.

Чтобы избежать парадокса Бриллюэна, были построенц различные модификации течения Гельмгольца путем искусственного изменения задней части каверны. Можно полагать, что таким образом будет выполнено условие QфO без значительного искажения течения около препятствия, создающего каверну.

Так, в 1921 г. Рябушинский [39] построил течение Гельмгольца со свободными линиями тока для двух симметрично расположенных пластинок (см. рис. 15, а) с условием Q > 0. Это построение можно кратко описать следующим образом (см. [17], гл.У,§9).

«Область годографа» (т. е. диаграмма на -плоскости) одной четверти течения, очевидно, представляет собой четверть круга, а область W -квадрант ввиду вертикальной и горизонтальной симметрии. Следовательно, конформное отображение области годографа на область W выполняется (см. § 40) по формуле

Посредством выбора единиц измерения мы можем свести все к случаю С = 1 и = 1 при В = оо, из чего следует ц = -1. После этого получим соотношение

г-ЙЕГОГ, (166)

откуда величину = f dWjt, можно получить в виде эллиптического интеграла. Если v есть скорость на свободной линии тока, то 5= г» при W-=0, откуда Т;* + 2X1 + \ =

(l - v) (?* - «") и) = --5-(г)2 + г)-2). По уравнению Бернулли Q = t;2- 1, откуда Х = \ {(1 -f Q)4-(H-Q)4- С помощью этих формул легко найти коэффициент Со как функцию Q.

Другое важное течение Гельмгольца с условием Q > О было построено в 1946 г. Эфросом и, независимо от него, Гильбар-гом и Роком). Вместо симметричной каверны оно имеет возвратную струю (см. рис. 15,6) 2). Возвратные струи наблюдались экспериментально, хотя они, по-видимому, образуются лищь

) См. [17], гл. III, § 8, по поводу литературы и подробностей вычислений.

*) См. [16*], подробности в [\7*]. - Прим. ред.