§ 74. Асимптотическое изменение масштаба 149

Моделирование двойных соударений). Преобразование расстояний и плотности в обратном отношении при сохранении скорости и температуры

х->ал:,, t->a.t, щ-Щ, р-*-ф, 9-►в

обладает некоторыми необычными свойствами. В совершенном газе (§ 3,14) оно сохраняет неизменным удельную теплоемкость С,., адиабатическую постоянную i и скорость звука в окружающей среде С. Следовательно, оно сохраняет число Маха М = V/C.

Кроме того, это преобразование согласуется и с кинетической теорией газов, если рассматривать только двойные соударения молекул. Следовательно, оно сохраняет неизменными вязкость ц, проводимость X, а среднюю длину свободного пробега молекулы \ изменяет в отношении 1 : а. Значит, оно сохраняет также число Рейнольдса Re = VLp/\i, число Прандтля Рг = = Ср\1/у. и число Кнудсена k/L. Таким образом, оно пригодно для моделирования сжимаемости, явлений ударных волн, явлений вязкости, повышения температуры вследствие нагрева пограничного слоя и явлений в разреженном газе (большая средняя длина свободного пробега).

Наконец, данное преобразование сохраняет все вторичные процессы химической кинетики, следовательно, оно пригодно для моделирования многих явлений, рассмотренных в § 34, которые не укладываются в рамки механики континуума. С другой стороны, оно имеет то большое преимущество, что позволяет воспроизводить путем моделирования многие аэротермодинамические явления, протекающие в верхних слоях атмосферы, при испытаниях на моделях небольших размеров вблизи поверхности земли.

§ 74. Асимптотическое изменение масштаба

Аффинное моделирование - как и в теории тонких тел - можно формально рассматривать в рамках анализа размерностей, приписывая разные «размерности» длинам в разных направлениях

Однако гораздо более действенным является метод инспекционного анализа, который показывает, что такой «анализ размерностей» обычно равносилен особой теории возмущений, т. е, асимптотическому инспекционному анализу.

•) Неопубликованная работа автора н Эккермана из AVCO Corp.

«) См. Williams W., Phil. Mag.. 34 (1892), 234-271; Moon P., Spencer D. E., J. Franklin Inst.. 248 (1949), 495-522. Часто методы воз« ыущеинй сами не могут быть строго обоснованы.

Мы рассмотрели случай линеаризованного моделирования по числу Маха. Сейчас мы приведем несколько примеров применения той же идеи.

Быть может, наиболее важным примером служат уравнения пограничного слоя Прандтля для ламинарного течения вблизи гладкой твердой границы (§ 27). Так, стационарное плоское течение в пограничном слое определяется [гл. П (14)] уравнениями

" дх+ ду + f дх -дУ Ж-ду-

и краевыми условиями и{х,0) =0, и(х,оо) = и.

Эти уравнения, выведенные в приближении, когда толщина пограничного слоя считается бесконечно малой, инвариантны относительно группы аффинных преобразований вида

х-"х. у->ру. ы->и. г»-ГЧ (39)

а также относительно группы, определяющей моделирование по числу Рейнольдса.

Другой пример дает теория безвихревых гравитационных волн в мелких водоемах с медленно изменяющейся глубиной Л. В самом грубом приближении средняя скорость частицы и{х, t) в этих «волнах на мелководье» для двумерного движения [58, разд. 2.2] удовлетворяет уравнению

и« = г(Аи)«. (40)

Частный инспекционный анализ показывает, что уравнение (40) инвариантно относительно преобразования

t-t, h--h (41а)

при любом р > 0. Так как уравнение (40) однородно и линейно, то оно инвариантно также относительно преобразований

и-».8и-}-« при любых 8>0 и е. (416)

Как уже было отмечено в § 15, волны на мелководье можно представить более точно уравнениями политропного течения при 1 = 2. Из сказанного в § 73 следует, что они инвариантны при всех изменениях масштаба вида

х-»-ах, t-*at, и->и, p->kp. (41в)

В гл. V мы покажем, как с помощью таких групп можно получать в явном виде частные решения краевых задач.

) Сгауа А. [501 Doodson А. Т. [51], стр. 148.

) По воспоминаниям профессора В. Прагера. Конечно, шероховатость модели также представляет собой параметр, который подлежит учету.

Здесь же мы главным образом рассматриваем применения теории моделирования. Ее важным приложением является обоснование изменения вертикального масштаба в гидравлических моделях ). Мы рассмотрим этот вопрос в § 77.

§ 75. Аэродинамические трубы

В настоящее время многие ведущие лаборатории в первую очередь занимаются проведением и истолкованием опытов на моделях. В связи с этим на практике были выработаны некоторые простые положения относительно подобия, вроде описанных в этой главе. Однако первоначально простые идеи были значительно усовершенствованы с развитием этих работ, и мы получили бы весьма искаженное представление о моделировании, если бы не рассмотрели некоторые практические аспекты этой темы. Поэтому в заключение мы дадим краткий исторический обзор развития экспериментальной техники некоторых специальных видов моделирования.

Аэродинамические трубы представляют, быть может, наиболее совершенные устройства для проведения экспериментов с моделями. Полученные в них данные первоначально истолковывались только с помощью инерциального масштабирования, например в случае замеров коэффициентов Со, Cl, См Для препятствия или крыла заданной формы при заданном угле атаки. К тому же, эти грубые данные требовали «поправок тарирования» на влияние державок модели, а также поправок на влияние стен и падение давления (§ 102). Поскольку опыты проводились при разлииных числах Рейнольдса, часто возникали расхождения, в особенности в окрестности Квкр., и конкурирующие лаборатории иногда заявляли, что это результат ошибок эксперимента ).

Остроумная идея, позволяющая получать разные числа Re на малых моделях, состоит в том, чтобы использовать аэродинамические трубы с переменной плотностью ({3], разд. 102); так как вязкость ц не зависит от давления, то число Re = VL/v = = pVL/i пропорционально плотности.

Однако опыты показывают, что идеи, изложенные в § 71, не безупречны и в том отношении, что турбулентность в аэродинамической трубе может влиять на величину CoCRe). Чтобы это учесть, было предложено для всякой данной аэродинамической трубы определить такой множитель Х, чтобы в этой трубе