показано, весьма приближенно определяет вид смыкания прн входе в воду: поверхностное или глубинное.

Использование параметра N в качестве необходимого критерия доказывают следующие опытные данные. Согласно экспериментам время 7"г.с.. необходимое для глубинного смыкания, в грубом приближении пропорционально величине VL/g. С другой стороны, установлено (например, с помощью инспекционного анализа инерциального механизма поверхностного смыкания), что продолжительность 7"п.с. поверхностного смыкания пропорциональна pL/pV, где L - характерная длина, а V - характерная скорость. Поэтому для поверхностного смыкания условие Гг.с. > fn.c. принимает вид > Л„р..

При обычном использовании анализа размерностей мы пришли бы к выводу, что средние разности давлений, вызывающие поверхностное и глубинное смыкание, должны быть пропорциональны соответственно величинам pV"/2 и 2pgL, а это привело бы к предложению использовать безразмерное отношение Л = = Fr р7р в качестве критерия поверхностного смыкания. Последнее резко расходится с наблюдениями.

Глава V ТЕОРИЯ ГРУПП И ГИДРОМЕХАНИКА

§ 79. Введение

В гл. IV было показано, что понятие группы ценно для гидромеханики в трех отношениях. Во-первых, это понятие помогает математически обосновать моделирование с помощью инспекционного анализа, который более соответствует сути дела, чем обычно применяемый анализ размерностей. Во-вторых, с помощью понятия группы можно проверять справедливость математических теорий гидромеханики даже в тех случаях, когда невозможно проинтегрировать теоретически выведенные уравнения в частных производных. И наконец, как и анализ размерностей (но более общим образом), оно часто дает средство снизить число подлежащих рассмотрению параметров; тем самым понятие группы вносит значительные упрощения.

Теперь мы обсудим возможности применения этого понятия к интегрированию дифференциальных уравнений гидромеханики и, конечно, уравнений математической физики вообще. Большая часть того, что мы намерены высказать в связи с этим, в том или ином виде уже имеется в других работах. Но если, как мы полагаем, применение понятия группы в теории дифференциальных уравнений только начинается, то, по-видимому, целесообразно свести воедино относящиеся к этому вопросу соображения.

Сначала мы опишем то, что можно назвать методом поиска симметричных решений уравнений в частных производных. Предположим, что система уравнений в частных производных 2 инвариантна над группой G, элементами которой являются входящие в систему зависимые и независимые переменные. Метод состоит в отыскании решения, инвариантного над некоторой подгруппой группы G. Другими словами, он состоит в отыскании автомодельных решений, обладающих внутренней симметрией относительно G.

Этот метод так часто применялся прн решении отдельных физических задач, что удивительно, почему он ие был более

отчетливо сформулирован гораздо раньше). Мы покажем сейчас его эффективность на нескольких частных примерах.

§ 80. Симметричные решения уравнения теплопроводности

Метод «поиска симметричных решений» применим к континуальной физике вообше. Совсем просто его применение к уравнению диффузии; и это мы рассмотрим прежде всего. Для плоско-параллельного течения уравнения Навье - Стокса сводятся к уравнению диффузии 2), но наиболее известно применение уравнения диффузии в теории теплопроводности. Ввиду того что переносу тепла и переносу количества движения в вязкой жидкости соответствует одна и та же группа симметрии, в некоторых задачах, относящихся и к теплопроводности и к конвекции, можно применять аналогичные рассуждения. Например, можно рассматривать задачи с изменением фазы на подвижных границах (задача Стефана) или задачи о росте сферических пузырьков пара в равномерно перегретой воде.

Итак, рассмотрим диффузию тепла из точечного источника в среде с постоянной теплопроводностью к. Уравнение теплопроводности для твердых тел имеет вид

=.xV2 = x2. (/1 = 1. 2 или 3), (1)

где t/- температура в точке х = {хи х„) в момент времени t. Ввиду сферической симметрии задачи будем искать решение

вида U{r,t), где =2 -" Этим исчерпывается использование

в задаче чисто геометрической симметрии явления. Но тут еще имеется физическая симметрия в том смысле, что дифференциальное уравнение (1) инвариантно относительно группы преобразований пространства, времени и температуры

г = аг, t = a4, и = и-\-ч. (1*)

зависящей от трех произвольных параметров а, р, 7. Этой группой обобщается классический закон времени, согласно которому

) Впервые он был высказан Бехертом [62]. Более полная формулировка была дана Л. И. Седовым [72] и [57], гл. IV, § 1; см. также К. П. Станюкович [73] и [74].

) [7], п. 345-347. Результаты этого параграфа были опубликованы в [63], прежде чем нам стало известно о работах, названных в примечании 1. Относительно применения к исследованию роста пузырьков пара см. Birkhoff С, Horning W. А., Маг guiles R., Physics о/ Fluids. I (1958). 201-204.