$ 22. Парадокс неаналитичности 53

Рейнольдса п если эта краевая задача математически корректно поставлена, то обтекаемые этими течениями тела должны иметь один и тот же коэффициент лобового сопротивления

Классическое экспериментальное подтверждение данного следствия (но не обязательно тех гипотез, которые при этом были использованы!) показано на рис. 7а и 76, где приведены коэффициенты лобового сопротивления соответственно для цилиндра и сферы. Едва ли можно было предположить существование этих замечательных кривых, если бы свойства вязкости не были указаны в точной математической формулировке!

Представления, лежащие в основе теоремы 2, будут подробно проанализированы в § 71.

§ 22. Парадокс неаналитичности

Лагранж построил первое доказательство того, что в невязкой жидкости завихренность частицы жидкости является перманентной. К сожалению, доказательство Лагранжа, как показал Стоке ([13], т. 1, стр. 106-112), ошибочно. Оно одинаково применимо и к областям в вязкой жидкости, где эта завихренность неперманентна! Ошибка заключалась в том, что скорость и завихренность предполагались аналитическими функциями времени.

Если это принять (согласно гипотезе (Е) из § 1), то можно рассуждать следующим образом. Основное уравнение (3) эквивалентно (если применить операцию rot к обеим его частям) уравнению

# = vV= + (§-V)u (9)

относительно завихренности = V X и. С помощью независимых переменных Лагранжа а и t, где а относится к движущейся частице, так что d/dt (а фиксировано) есть D/Dt, мы можем преобразовать частные производные по формулам

дх - П Q.

Применяя эту операцию к уравнению (9), получаем соотношение

+ ) (» Ж[ = + • V) (10)

Последовательно дифференцируя соотношение (10) по времени t при постоянном а, получим последовательность явных выражений для DyOi". Легко показать, что каждый член в

каждом таком выражении содержит в качестве множителя либо li, либо либо одну из производных

DlilDt.....D"-%/Dt"~ и т. д.

Поэтому, предполагая все функции дифференцируемыми бесконечное число раз, индукцией по п получаем, что все Di/Dt" - О).

Наличие вязкости проявляется в членах с пространственными производными от завихренности. Для невязкой жидкости начальная завихренность (а, 0) = О в любой точке х(а, 0) обеспечивает то, что все D"/D/"(a, 0) = О в тех же точках, вто время как в вязкой жидкости для обращения в нуль пространственных производных от завихренности требуется отсутствие завихренности в некоторой окрестности точки х(а, 0).

И в том и в другом случае, если функция (а, t) аналитическая по t, то она тождественно обращается в нуль, так как все члены ее разложения в ряд Тейлора (по /) тождественно равны нулю. Это приводит к следующему парадоксу 2).

Парадокс неаналитичности. Для того чтобы область жидкости, находящаяся вначале в состоянии покоя (или в безвихревом движении), стала завихренной, она должна уже иметь завихренность, которая является неаналитической функцией времени.

§ 23. Существование и единственность

Прежде чем выяснить пригодность уравнений Навье -Стокса для описания механики реальных (несжимаемых) жидкостей, нам следовало бы убедиться в том, что с их помощью можно формулировать физически естественные краевые задачи, которые математически оказываются корректно поставленными (см. теорему 2, следствие). То есть мы должны иметь теоремы существования и единственности, которые до сих пор доказывались только при весьма ограниченных допущениях.

Что касается задачи Коши (задачи с начальными условиями), то для нее существование и единственность были доказаны для случаев плоских и осесимметричных течений в предположении конечности полной энергии. При доказательстве исполь-

) Если первоначально I = 0. - Прим. перев.

) D.uhem Р., Traite dEnergetique, т. 2, стр. 121; Truesdell С, Kinematics of vorticity, Indiana Univ. Press, 1954, § 104.

§ 24. Течение Пуазейл.ч 55

зуется уравнение (9), которое для плоского течения имеет упрощенный вид:

DC о- dv ди ,

- = v?-,, (11)

Однако в пространственном случае даже для конечной полной энергии было доказано только существование - и то лишь для ограниченных интервалов времени). Хотя предположение о конечности полной энергии, вероятно, может быть ослаблено,- пожалуй, достаточным может оказаться ограниченность скорости, - Е. Хопф2) показал, что задача Коши для уравнений Навье - Стокса не является корректно поставле1шой, если допустить, что с увеличением расстояния от начала координат скорость возрастает линейно, а давление - квадратично.

В стационарном случае теоремы существования доказаны для обтекания препятствий произвольной формы как в плоскости, так и в пространстве, но не доказаны теоремы единственности. Если рассматриваемые стационарные течения являются единственными, то при больших числах Рейнольдса они физически неустойчивы; это явно следует из парадокса турбулентности (§ 25) 3).

§ 24. Течение Пуазейля

Уравнения Навье - Стокса, как и уравнения Эйлера во времена Лагранжа, удалось пока проинтегрировать лишь в нескольких случаях. Поэтому согласование с экспериментом в этих немногих случаях имеет принципиальное значение.

Одним из таких случаев является течение жидкости в длинной прямой трубе, поперечное сечение которой есть круг постоянного радиуса с. Пусть х обозначает расстояние, измеряемое вдоль трубы, а г -расстояние от оси трубы. В этих цилиндрических координатах Ux, Ur и и„ пусть обозначают соответственно осевую, радиальную и трансверсальную составляющие скорости.

Теорема 3. Единственно возможными решениями системы (3), (4), (6), обладающими предполагаемой симметрией (ста-

) Leray J., /. de Math., 12 (1933), 1-82; там же 13(1934), 331-418; Acta Math., 63 (1934), 193-248; Hopf E., Math. Nachr., 4 (1951), 213-231. Cm. также Долидзе Д. E., ПММ, 12 (1948), 165-180 и 19 1955), 764

=) Hopf е., /. Rat. Mech. Anal.. 1 (1952), 107.

) Значительные результаты относительно существования и устойчивости решений стационарных и нестационарных краевых задач для уравнений Навье -Стокса получены в ряде работ О. А. Ладыженской и ее сотрудников. См. Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Физматгиз, М., \%\.~ Прим. перев.