§ из. приложения 227

Несмотря на то что предшествующие формулы сугубо теоретические и что стационарное поступательное движение при отсутствии внешних сил физически невозможно, формула (45) дает классическое объяснение стремлению плоской пластинки стать широкой стороной перпендикулярно к течению. Нетрудно показать с помощью (45), что устойчивым будет стационарное поступательное движение вдоль главной оси, соответствующей максимальному компоненту тензора кинетической энергии. Этот вывод качественно согласуется с экспериментом.

В качестве другого приложения общей формулы (44*) мы можем отметить, что составляющая обобщенной силы равна нулю в любом направлении, соответствующем бесконечно малому преобразованию, перестановочному с рассматриваемым стационарным движением. Это следует из того, что если [Eh, Ei] = О, то Qi равно нулю.

Указанное свойство дает теоретико-групповое обоснование парадокса Даламбера. Стационарное поступательное движение вдоль любой оси не вызывает (теоретически) никакого противодавления, а только вращательный момент, поскольку все поступательные движения перестановочны. Так как поступательные и вращательные движения относительно одной и той же оси перестановочны, поступательное движение не вызывает и никакого вращательного момента вокруг оси переноса, - ось момента перпендикулярна оси поступательного движения.

То же самое рассуждение непосредственно приводит к тому, что можно назвать парадоксом пропеллера. При винтовом движении вокруг оси (в классической теории) нет ни противодавления в направлении этой оси, ни вращательного момента относительно нее! Поэтому для винта самолета или для какого-либо другого предмета, обладающего п-кратной вращательной симметрией относительно этой оси (п > 1), все компоненты силы (теоретически) равны нулю).

Как показано в [2], гл. V, § 14, приведенные результаты можно обобщить на случай воображаемых абсолютно твердых тел в идеальной жидкости, заполняющей неевклидово пространство. Однако мы не будем приводить этого здесь, поскольку физическое значение таких результатов далеко не ясно. Основное же состоит в том, что классическую теорию движения абсолютно твердого тела в идеальной жидкости можно рассматривать как часть теории Ли однородных пространств ).

) Так как область вне пропеллера односвязна, то это положение нельзя исправить введением «циркуляции» вокруг лопастей пропеллера - без значительных оговорок.

=j Шевалле К., Теория групп Ли, ИЛ, М., т. 1-2, 1948-1958.

§ 114. Стоксово затухание

В случае малых колебаний лагранжевы методы предыдущих параграфов приводят к выводу о наличии присоединенной массы, из-за чего удлиняется период свободных колебаний, но затухания колебаний они не дают. Первое теоретическое исследование затухания свободных колебаний, вызванного вязкостью, было выполнено Стоксом в 1850 г. При этом Стоке пренебрегал конвекцией, что обосновано в случае достаточно малых колебаний, и линеаризовал уравнения движения. Вследствие этой линеаризации он получил «логарифмический декремент» {определяемый как логарифм отношения амплитуд последовательных колебаний), который не зависит от амплитуды. Мы кратко изложим схему вычислений.

При обычной трактовке подъемной силы линеаризованные уравнения движения сводятся лишь к уравнению

= - + .V%. {47)

Мы можем исключить р, применив к обеим сторонам (47) операцию ротор. Обозначив вихрь У X и через g, получим следующее уравнение

-- = vV2;. (48)

В случае вынужденных синусоидальных колебаний постоянной амплитуды и угловой частоты ю уравнение (48) эквивалентно уравнению

n = (48*)

При этом мы придерживаемся обычного соглашения, что физический вихрь скорости есть действительная часть комплексной функции пространственных координат и времени, аналитической по времени.

В случае плоских и осесимметричных течений (т. е. в случае поперечных колебаний цилиндров и продольных колебаний тел вращения) величину g можно выразить через стоксову функцию тока V. (Так, для плоского течения = VV). Это намного упрощает краевые условия.

Детали довольно длинных вычислений {[13], т. 3, стр. 22-54, или [7], § 345-354) мы опускаем. Для сферы радиуса а пол-

§ 115. Торможение пограничного слоя 229

НОЙ динамической характеристикой является сила ([7], § 354, (26))

.Х=р.объем (S){l + +(-+5; а г и>

(49)

Это значит, что помимо находящейся в той же фазе силы инерции присоединенной массы -g-p - объем (S) (согласно§98),имеется еще синусоидальная сила с амплитудой в 9S раз большей и со сдвигом фазы на 135° и другая синусоидальная сила с амплитудой в 9S* раз большей и со сдвигом фазы на 180° по отношению к фазе колебаний.

Последняя сила - это просто сопротивление стационарному «ползущему обтеканию» сферы, движущейся с постоянной скоростью (§ 30). Первую же силу можно истолковать как силу торможения пограничного слоя, и такую схему мы рассмотрим сейчас в общем случае.

§ 115. Торможение пограничного слоя

В 1850 г. Стоке ({13], т. 3, стр. 21) предположил, что «воздействие жидкости можно вычислить с весьма большой степенью точности, если рассматривать каждый элемент поверхности твердого тела как элемент некоторой бесконечной плоскости, колеблющейся с той же линейной скоростью». Хотя Стоке предложил это только для крутильных колебаний твердого тела вращения вокруг его оси, то же самое приближение было предложено и для малых поступательных колебаний). Поскольку эта идея вытекает из теории пограничного слоя Прандтля (§ 27), если пренебречь конвекцией, то вычисленную выше силу мы будем называть силой пограничного слоя.

Для синусоидальных продольных колебаний ее можно легко вычислить. Эта сила сдвинута по фазе на 135° относительно движения ([7], стр. 620). Поэтому если F есть максимальное значение силы и -Е есть усредненная скорость рассеяния энергии, то, очевидно, -Ё = FqltY,, где q - максимальная скорость колебаний твердого тела S. Но средняя скорость рассеяния энер-

) Boussinesq J., /. de Math., 4 (1878), 335-376. Carrier Q. F., Prima R. C, /. Appl. Mech., 23 (1956). 601-605, предложили поправку второго порядка.