f 29. Регулирование пограничного слоя 65

граничном слое. Как это далеко от первоначальной концепции Лагранжа!

При больших углах атаки можно избежать потери скорости и получить большую подъемную силу при помоши так называемых разрезных крыльев. Такие крылья знакомы пассажирам самолетов и могут быть получены при помощи предкрылка и.закрылка. К сожалению, разрезные крылья увеличивают лобовое сопротивление, поэтому их используют лишь на взлете и при посадке, когда в первую очередь важно получить большую подъемную силу при уменьшенной скорости. Хотя трудно предсказать математически, как работают разрезные крылья, характер влияния щелей на течения вдоль верхней стороны крыльев, очевидно, подобен действию струй, которые снижают тенденцию к отрыву потока посредством ускорения пограничного слоя. Изобретательные техники пробовали также использовать струи для тех же целей.

Другое многообещающее приспособление основано на создании принудительного подсоса либо через щели, либо через равномерно размещенные круглые отверстия на тех участках, где иначе произошел бы отрыв пограничного слоя. В этом случае пограничный слой отжимается к стенке, и мы опять получаем лучшее приближение к течению Жуковского. Если используются щели, то, исходя из теории Жуковского, нужно создать повышенное давление как раз впереди щелей). Можно также попытаться использовать подсос для того, чтобы сохранить пограничный слой ламинарным, тем самым опять-таки уменьшая лобовое сопротивление. К сожалению, очень трудно, по-видимому, получить такое ламинарное течение. Даже летящие в воздухе насекомые могут вызвать турбулентность при обтекании самой гладкой поверхности крыла.

Последняя идея Прандтля заключалась в том, чтобы помешать уменьшению скорости в пограничном слое, а следовательно, и отрыву, используя движущиеся границы. Хотя в лабораторных условиях и можно продемонстрировать правильность рассматриваемой идеи), но до сих пор ее применение имеет лишь эмпирическую основу, так что в дальнейшем мы больше не будем возвращаться к этому вопросу.

•) См. Goldstein S., J. Аег. Sci., 15 (1948), 189220; Р f е n n i n-ger W., там же, 16 (1949); 227-236; Doehnhoff A. E., Lofton L. K., Jr., там же, 729-740; L a с h m a п п Q. V., J. Roy. Aer. Soc, 59 (1955), 163-198.

) Cm. [11], n. 51-52; Ackeret J., Das Rotorschiff..., Goettingen, 1925; Fa vre A., Comptes Rendus, 202 (1936), 434-436. По поводу идей Прандтля см. также § 9.

) [3], п 215. По поводу формулы (15) см. [7], п. 337-338.

) Относительно свойств используемых бигармонических функций см. Nicolescu М., Les fonctions polyharmoniques, Hermann, 1936, особенно стр. 13-16 и стр. 32. Обычно вместо строгого доказательства ссылаются на гипотезу (Е).

Технические трудности, встречающиеся при реализации упомянутых выше соображений, не должны заслонять лежащую в их основе идею - аппроксимацию идеального течения Жуковского, описанного в § 8.

§ 30. Парадокс Стокса

В § 25-29 мы рассмотрели трудности, связанные с теоретическими расчетами течений при больших числах Re. Теперь мы перейдем к противоположному случаю, когда Re-O. В этом случае разложение по степеням Re уже не связано с «сингулярным возмущением» в смысле § 24; нелинейный конвективный член u • Vu не будет членом самого высокого порядка, и с математической точки зрения представляется вполне целесообразным его попросту опустить.

Это было сделано Стоксом, который ввел, таким образом, новый класс идеальных течений, обычно называемых «ползущими». В таком приближении Стоке вывел формулу

£) = 6«1*сг> (15)

для сопротивления, испытываемого твердой сферой радиуса с при медленном движении со скоростью о в жидкости с вязкостью ц. При выводе существенно используется гипотеза (С) применительно к осевой симметрии. Окончательная формула (15) хорошо подтверждается экспериментально) при Re <0,2.

Казалось бы, вполне естественно применить тот же самый метод к круговым цилиндрам, движущимся перпендикулярно оси. Однако в этом случае мы имеем следующий парадокс.

Парадокс Стокса. Стационарное «ползущее» обтекание кругового цилиндра невозможно.

Доказательство. При плоском стационарном ползущем течении уравнения Навье-Стокса (11) сводятся к уравнению 2 = 0. Если V-функция тока, то последнее уравнение эквивалентно уравнению VV = О, т. е. V - бигармоническая функция. Отсюда следует, что V - аналитическая функция"). Действительно, во всяком круговом кольце функцию V можно разложить в ряд Фурье

=Sa„()cos,ie + ft„(r)slnn9, (16)

§ 30. Парадокс Стокса 67

гдеа„(/-) И hn{r) удовлетворяют соотношениям

tUnEXO. = + (160

Если вектор скорости (dV/ду, -dV/дх) в прямоугольных координатах ограничен на бесконечности, то простое вычисление дает соотношение а,(г) = Л1Г + Oi/r, и a{r) = a\jr~-\-a"Jr" при л>.2. Отсюда следует формула

1 I/ I 1 1 1 cos 6 -- i, sin в I

(17)

С другой стороны, если VV = О, то из теоремы о дивергенции следует уравнение

(yWfdxdy [r-V-V (VW)} d..

где С -кривая, ограничиваюшая область А.

Пусть теперь А - область между цилиндром и большой окружностью радиуса г. Так как на цилиндре V = dV/dn = О, интеграл в правой части предыдущего уравнения, взятый по этой части С, должен обращаться в нуль. На большой окружности, поскольку

2у0{г-), V=0{r). V\/=0(1) и V(vJV0 = O(r-3), справедливо соотношение

Л W - ) = О (г-2). О (г) -> О

при л->оо. Так как (ЧУУО, то отсюда следует, что У2К=0, т. е. V должно быть гармонической функцией. Следовательно, в формуле (17) а„ = Ь„ = 0. Наконец, из условия dVldr = 0 - условия прилипания на поверхности цилиндра - следует, что V = Vo и о = О, а это завершает доказательство).

) Подробное из.юженне вопросов § 30 и § 31 см. в [\*], - Прим. ред.