§ 62. Числа Рейнольдса и Маха 125

С другой стороны, так как минор В - неособая матрица, то система (8) имеет единственное решение х = (дг[, ,.. , je„). Для этого решения х справедливы равенства

Qy=T,(\ri = {ay ... а)Л Выполнив элементарные выкладки с показателями, получим

п Qy=п -У=п «f * =п

Делая подстановку в правую часть равенства (9), получим формулу (8).

Для дальнейшего разъяснения смысла теоремы 1 приведем следующие известные примеры.

Пример 3. Предположим, что сопротивление D, которое жидкость оказывает движению твердого тела заданной формы, является инерциальным в том смысле, что оно определяется плотностью жидкости р, скоростью V и диаметром тела d. Тогда при х\ = X, Х2 = у, хз = г формула (8) эквивалентна соотношению

MLT- = {ML-y{LT-yL\

так что уравнения (8) сводятся к виду

\=х. \ = - 3x-y + z, -2 = -у.

откуда х= I, у = Z = 2. Отсюда, если соотношение не зависит от единиц измерения, то D = Kopvd, где Ко - постоянная. (В действительности же величина Ко = tzColS, которая носит название баллистического коэффициента сопротивления, слабо изменяется.)

Пример 4. Если сопротивление D определяется через р, v, d и вязкость жидкости ц в виде функционального соотношения, не зависящего от выбора единиц, и если силами инерции можно пренебречь («ползущие течения» Стокса), то аналогичный подсчет размерностей приводит к соотношению D = K*ViVd, где К* - еще одна постоянная.

§ 62. Числа Рейнольдса и Маха

В теореме 1 число п основных единиц равнялось числу г переменных, входящих в не зависящее от выбора единиц соотношение

Qo=/(Qi.....Qr).

) Это доказательство в основном принадлежит Ваши; см. также Riabouchinsky D., LAerophile, September 1911.

) Называемое во Франции «числом Сарро». Термин «число Маха» предложил Acker с t J., Schweiz. dauzeitung, 94 (1929), J79.

При Г = Л + 1 рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1, приводят к формулам, содержащим полезные безразмерные параметры.

Теорема Г. Всякое соотношение Qo = f(Q......Qr), не

зависящее от выбора единиц и содержащее (г - 1) основных единиц, можно записать в виде

Qo=C(n)Q;... Q;

где l\ = Q" ... Q"/ - безразмерное произведение степеней

Ql, ••• ,Qr и QoQ, ••• Q=Io " безразмерное произведение.

Теперь мы проиллюстрируем предыдущий результат, представляющий собой частный случай П-теоремы (мы ее докажем ниже), двумя важными примерами из гидромеханики.

Пример 5. Предположим, что D = f(р, v, d, ц) есть функция от р, V, d к ц, не зависящая от выбора единиц при всех преобразованиях единиц длины, времени и массы по формуле (1). Безразмерные величины Ко = D/pv4" и Re = pyrf/ц (число Рейнольдса) инвариантны относительно этих преобразований. Но с помощью одного из таких преобразований) мы можем одновременно свести р, V, d к 1; при этом ц переходит в ц/pud = 1/Re. Поэтому

D = KDmpvd\ где /iro(Re)=/(l, 1. 1,-). (10)

Пример 6. Предположим, что D подобным же образом определяется величинами р, v, d и сжимаемостью невозмущенного потока жидкости -rf(l/p)/rfp = rfp/prfp. При этом получаются безразмерные величины D/pv4" = /Со и vdpjdp (размерность последней (Lr-)2(ML-3) (AfLr-2L-2)-= 1). Физический смысл выражения v4p/dp станет понятнее, если мы вспомним, что dp/dp = с", где с - скорость звука в жидкости. Рассуждая, как в примере 5, получаем соотношение

Ко=/{ЬА% где М = - число Маха2). (11)

Формулу (10) можно вывести также из теоремы 2 гл. II, если предположить, что уравнения Навье -Стокса полностью

§ 63. XireOpem 127

определяют движение жидкости, ср. § 71. Аналогично формулу (11) можно вывести из уравнений Эйлера - Лагранжа, ср. § 73.

Прежде чем доказать П-теорему, мы приведем еще один важный пример применения анализа размерностей.

Пример 7. Пусть имеется отнесенное к единице массы стационарное распределение энергии турбулентности между вихрями различных размеров "к, так что dE = E{X)dX. Предположим, что это распределение определяется инерциальным механизмом передачи энергии турбулентности вихрям меньших размеров Я. Очевидно, что скорость передачи энергии, приходящейся на единицу массы, имеет размерность VjT = DfT; следовательно, при любом изменении масштаба вида L-aL, Т--(Т она умножается на величину а/. Кроме того, чтобы ЕЩ сохранялось неизменным, эта скорость не должна зависеть от \. Отсюда осредненное время ТЩ, необходимое для превращения вихрей размера X в вихри меньших размеров, должно быть пропорционально \/к при изменении масштаба величина Т имеет размерность Li\ Теперь рассмотрим спектр частот энергии: dE = F(k)dk, где Л = 2ir/X, есть волновое число. Поскольку dE имеет размерность = LT, а величины k и dk - = 2T:d\/V имеют размерность 1/L, то функция F{k) имеет размерность L/T, или или k-\ Окончательно из анализа размерностей следует формула Колмогорова для распределения энергии трубулентности: F(k) - к~-

Формула Колмогорова связана с известным парадоксом бесконечной плотности полной энергии турбулентности, приходящейся на единицу объема, в случае мощных пульсаций, но мы не будем рассматривать здесь объяснение этого парадокса.

§ 63. П-теорема

Не приводя больше примеров), перейдем сразу к доказательству общей П-теоремы Ваши и Букингема, которую можно сформулировать следующим образом:

Теорема 2. Пусть положительные переменные Qi,..., Qr. при всех преобразованиях по формуле (1) основных единиц 9i.....Яп изменяются согласно формуле (2). Пусть т<л -

) Многочисленные примеры приводят Бриджмен П. [46], гл. I, VI; Седов Л. И. [57]; Лангхаар [65], Портер [54] и Робертсон Б. А. Gen. Elec. Review. 33 (1930), 207; см. также Рэлей, Phil. Mag., 34 (1892) 59 и 8 (1905). 66. а также Nature, 95 (1915), 66.