) Для периодических или турбулентных следов - среднее значение этой скорости по времени.

) Чтобы придать таким гипотезам математическую респектабельность, можно называть их «тауберовыми»

) [17], гл. XII, § 9. Более раннее тщательное исследование провел Taylor G. Y., Phil. Trans.. А225 (1925), 238-245; см. также Goldstein S., Proc. Roy. Soc, A142 (1933), 563-573

*) [3], § 115. Первоначально эту технику разработал Betz А., Ze/7s Flugt Motorluftschiflahrt, 16 (1925), 42-44; см. также Page Л Jones В. М., Proc Roy. Soc, AIM (1926), 592-603.

движущегося в жидкости твердого тела мы наблюдаем движущийся вперед «след». Таким образом, для двумерного случая можно определить количество движения следа, приходящееся на единицу длины, на расстоянии х от препятствия, по формуле ([17], стр. 266).

М(х) = р j u{x.y)dy, (38)

где ось X выбрана параллельно направлению движения твердого тела, а величина и обозначает поступательную скорость) движения жидкости.

Если мы принимаем эмпирический факт, что вне следа завихренностью можно пренебречь и поэтому здесь применимы приближения классической гидродинамики, то это приводит нас к предположению, что количество движения М(х) фактически не зависит от величины д; - небольшого расстояния позади препятствия 2). Эта гипотеза подтверждается экспериментально.

Далее, естественно предположить, что количество движения в следе создается давлением тела на жидкость (второй закон Ньютона) и что оно равно по величине и противоположно по направлению сопротивлению D, которое жидкость оказывает движению тела (третий закон Ньютона). В частности, сопротивление D должно равняться возникающему за единицу времени количеству движения в следе, которое в свою очередь должно равняться произведению Uoo М, где М - количество движения в следе в расчете на единицу длины.

Эти интуитивные догадки можно сформулировать математически и вывести из разумных предположений относительно течения жидкости). Еще более интересно то обстоятельство, что некоторое уточнение таких формул дает наилучший способ измерения фактического лобового сопротивления крыла в полете,- по давлениям в трубках Пито, определяемым позади крыла на расстоянии от него, составляющем небольшую долю ширины крыла *).

Для нас еще более интересно применение закона сохранения количества движения следа к модели «вихревой дорожки» из

§ 57. Количество движения в следе 117

§ 56. В очень длинном вихревом «хвосте» с ограниченной скоростью среднее продольное расстояние а между вихрями не может изменяться со временем. С другой стороны, количество движения следа в расчете на единицу длины легко подсчитать по формуле /zx/a, где h - среднее поперечное расстояние между вихрями. Теоретически из этого следует, что в невязкой жидкости, когда X постоянно во времени, значение А (а следовательно, и отношение среднего продольного расстояния к среднему поперечному) должно быть постоянно во времени: здесь нет тенденции к единственному «устойчивому» ) отношению протяженно-стей. В вязкой жидкости сосредоточения завихренности ±х противоположных знаков диффундируют и взаимно уничто-жаю2ся; следовательно, можно ожидать возрастания величины Л, что и наблюдается в эксперименте.

С научной точки зрения приведенные выше результаты интересны тем, что они помогают выяснить асимптотическую структуру реальных следов. Однако для получения конкретных выводов нужно ввести еще одну гипотезу подобия. Подобие и относящиеся к этому идеи будут основной темой последующих гл. IV и V. Относительно же применений к теории следов см. работу [17], гл. XII и XIV.

) Фактически даже отношение протяженностей Кармана А/а - 081... дает неустойчивость, хотя и низшего порядка, см. {18]. [Это было установлено Н. Е Кочиным в работе [24*]. -Прим. ред.]

Глава IV

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ

§ 58. О моделях

Применение моделей при изучении механики жидкостей находит отклик у каждого, кто не лишен естественной любознательности. Какой мальчик не играл с моделями кораблей и самолетов и с упрощенными моделями плотин и водосливов? Но даже в наиболее развитых областях современной техники такие модели незаменимы и имеют существенное значение.

И несмотря на это, имеется очень мало таких физических дисциплин, где разрыв между теорией и инженерной практикой был бы больше, чем в области применения моделей к изучению гидродинамических явлений. Ученые-теоретики стремятся оставить в тени те неудобные факты, которые не укладываются послушно в рамки простой логической теории. В то же время инженеры, постоянно соприкасающиеся с действительностью под открытым небом и в лаборатории, обычно слишком перегружены частными техническими задачами, и им практически недоступно участие в академических дискуссиях. Ведь легче воздать на словах должное общепризнанным теориям, а при решении конструкторских проблем полагаться на опыт и интуицию.

Наша цель - уменьшить этот разрыв путем критического исследования проблемы в целом с обеих точек зрения. Мы начнем с теории моделирования, подчеркивая при этом связь с понятием группы.

Сначала, в § 59-65 будет дан критический обзор анализа размерностей. К анализу размерностей обычно обращаются, когда нужно обработать результаты экспериментов с моделями, и он обладает тем преимуществом, что для него не требуется математических сведений сверх курса элементарной алгебры, но зато и тем недостатком, что необходимо вводить добавочные постулаты, физическую надежность которых приходится проверять особо. В § 60-61 эти постулаты даны в теоретико-групповой формулировке в терминах «группы подобия» всевозможных изменений основных единиц.