§ 59. Анализ размерностей 119

Затем в § 66-74 будет показано, как эти постулаты можно вывести из математических формулировок динамики жидкостей, рассмотренных в гл. I, II, проверяя гидродинамические уравнения на инвариантность относительно заданных групп. Мы удем называть указанный метод инспекционным анализом, заимствуя этот выразительный термин у Руарка [56]; фактически, метод основан на старой идее, которая была предложена Афанасье-вой-Эренфест [61]. Но до сих пор данный метод никогда практически не использовался, хотя, как мы покажем, он является значительно более надежным 72) и более общим (§ 74), чем анализ размерностей.

Наконец, в § 75-78 выводы инспекционного анализа (и анализа разномерностей) будут сопоставлены с практикой моделирования. Как и в гл. I и II, окажется, что действительность намного сложнее теории. В инженерной практике должны учитываться многие факторы, игнорируемые при математическом описании, и приходится использовать некоторые приемы, не получившие еще научного обоснования.

§ 59. Анализ размерностей

Анализ размерностей возник в результате распространения на физические явления понятий геометрического подобия, отношения и пропорции, знакомых еще грекам ). Впервые это было сделано Галилеем при определении прочности балок из данного материала в зависимости от их линейных размеров. Он ввел интуитивно очевидное предположение о том, что разрушение балки происходит тогда, когда сила, отнесенная к единице площади (напряжение), превосходит некоторую максимальную величину, характерную для материала балки. Галилей пришел к выведу, что величина безопасной нагрузки на единицу объема обратно пропорциональна длине и предвосхитил многие другие классические результаты.

Затем анализ размерностей применяли Мариотт и Ньютон 2), но только Фурье (см. прим. 1) на этой стр.) впервые установил, что существуют определенные «основные единицы».

) Так, Фурье ([59], гл. II, разд. IX) упоминает, что греки знали размерности площади н объема. Рэлей всегда ссылался на «подобие» и «динамическое сходство». У Галилея, см. его «Две новые науки» (1638), День второй. [«Беседы о двух отраслях науки», М.-Л., 1933. - Прим. ред.]

*) Mariotte, Traite de la percussion des corps (1679) и Traite du mouvement des eaux (1686); Newton, Principia Mathematica (1686), r. 2, разд. 7. [В русском переводе: Крылов А. Н., Собрание трудов, т. 7, М.-Л., 1936.- Ярил, перев.] См. также Bertrand J., / de IEcole Polut., 19 (1848), 189-197.

§ 60. Группа подобия

Одна из наших основных целей - обосновать анализ размерностей с помощью постулатов, в которых явно используется упомянутая в § 58 группа подобия положительных скалярных преобразований единиц измерения. Хотя постулаты будут формулироваться абстрактно, мы будем интерпретировать их при помощи простых примеров из гидромеханики, и, быть может, самым простым из них является следуюший пример.

Пример 1. Допустим (или вспомним!), что скорость волны у в глубоком водоеме определяется ее длиной "К и ускорением силы тяжести g, так что vfiKg)- Допустим также, что это

относительно которых каждая физическая величина имеет определенные «размерности», которые надо записывать как показатели степеней. Конечно, эта идея почти очевидна, если вдуматься в смысл «коэффициентов пересчета» при переходе физических величин от одной системы единиц к другой.

Посредством различного выбора единиц Фурье без труда показал, что одни и те же аналитические формулы дают как решения задачи об охлаждении сфер малых размеров так и задачи об остывании Земли. Поскольку нас интересует соотношение теории и фактических данных, то здесь уместно заметить, что выводы Фурье были не правомочны, так как он не учитывал конвекции и радиоактивного нагрева земного ядра. Тем не менее его метод исключения параметров путем изменения единиц стал теперь классическим и применяется со значительным (хотя и не одинаковым!) успехом во многих разделах физики. Стоке, Савар, Фруд, Рейнольде, Ваши и многие другие исследователи с успехом использовали этот метод и установили ряд законов фундаментального значения.

Рэлей первым занялся изучением вопроса о том, насколько указанный прием плодотворен как общий метод исследования. Это вызвало длившуюся в течение двух десятилетий, 1900- 1920 гг., оживленную дискуссию с участием ведущих физиков о молчаливо принятых ранее предположениях и о границах применимости анализа размерностей.

Эти предположения и ограничения, хотя на них часто не обращают внимания в технике и в популярной литературе, изложены наряду с другими вопросами этого раздела в классической монографии Бриджмена [46], к которой мы отсылаем любознательного читателя. Другими авторитетными источниками являются работы Л. И. Седова [57] и Лангхаара [51].

§ 60. Группа подобия 121

соотношение остается тем же самым при любом выборе «основных единиц» длины и времени. Сделав эти предположения, мы можем математически рассуждать следующим образом.

Пусть в некоторой фиксированной системе основных единиц волна длиной К движется со скоростью v в гравитационном поле интенсивности g. Если выбрать новую единицу длины, равную а старых единиц, и новую единицу времени, равную т старых единиц, то длина волны запишется в виде X =Я/а, а ее скорость - в виде у = ит/а, в то время как ускорение силы тяжести примет вид g= gtVa- Выбрав а = X и х= VX/g. мы получим к = g = 1, и формулу

= g)=/(l. =

где С -скорость волны единичной длины в гравитационном поле, выраженная в новой системе основных единиц. Отсюда в новой системе основных единиц v = CYg- Но, по предположению, функция / не зависит от выбора основных единиц; отсюда v=C также и в старой системе единиц, где С -некоторая универсальная постоянная. (Для волн в глубоком водоеме C=l/l/2ir.)

Предыдущее рассуждение можно провести в абстрактной форме в терминах обычных понятий «основных» и «производных» однородных по размерности величин. Эти понятия характеризуются следующими двумя постулатами, которые представляют собой нечто большее, чем просто определения. (В примере 1 X - основная величина, в то время как v и g - производные величины.)

Предположение I. Имеются некоторые независимые «основные величины» ifi [i = 1,...,п], такие, что они независимо преобразуются «заменой единиц» по формулам

TA4i)=Mi = i.....«; «/>oi. (1)

где tti -любые положительные действительные числа. (В механике л = 3, а -это длина, время и масса; в примере 1 п = 2, так как масса не входит в рассмотрение.)

Предположение П. Имеются «производные величины» Q, (такие, как плотность, скорость, вязкость и т. д.), которые однородны по размерности в том смысле, что при преобразова-

ии по формуле (1) каждое Qj умножается на подходящий

коэффициент пересчета»:

7-. (Q;) = <. (2)