§ 13. Возникновение ударной волны

Как и многие другие парадоксы, парадокс Эрншоу содержит в себе зерно существенной истины. При более тщательном исследовании соответствующих уравнений можно установить, что для адиабатического течения газа более плотные части волны конечной амплитуды нагоняют менее плотные и в конечном счете перегоняют их. Показывается это следующим образом.

Пусть а обозначает всю массу жидкости слева от данной точки, так что х(а, t) представляет собой положение частицы а

в момент времени t, а есть удельный объем о = у. Тогда

DjDt из § 3 заменяется на {djdt)a, {dx/dt)a = ы и {dx/df) есть субстанциональное ускорение; здесь индекс а означает, что величина а остается постоянной. Уравнение неразрывности (Г) удовлетворяется автоматически, поскольку Dp/Dt = -рЮх/dt да и div и = pdx/dadt. Кроме того, можно использовать уравнение состояния (3), для того чтобы исключить р посредством соотношения

Следовательно, если не учитывать силу тяжести, то формулы (1)-(3) эквивалентны уравнению

dt - " да да •

) Действительно, если принять (18), то получим (Pp[dt<0, что противоречит второму началу термодинамики,

ри = const = с, или и = С/р. Подставляя это в предыдущее соотношение, получаем уравнение

-Л- = 0.ш.с1р. (17)

Следовательно, подобное волновое движение возможно только в случае, если жидкость удовлетворяет уравнению состояния (3) частного вида:

Р=Ро-~- (18)

Но нам не известен ни один газ, для которого адиабатическое ) уравнение состояния имело бы такой вид.

§ 14. Термодинамика невязких жидкостей 39

Пуассон открыл важный класс решений уравнения (20), задаваемый формулой

uQ{x-{c + u)t), (20*)

где G(r) - произвольная функция. Эти решения были названы простыми волнами ([6], стр. 92); они характеризуются свой-

ством: и = / с (а) da/a, где с = dp/dp = -аЧр/dc есть квадрат

скорости звука, которая является функцией удельного объема а. Как показал Адамар, любая плоская волна, только с одной стороны вступающая в жидкую среду (обычную жидкость или газ), в начальный момент находящуюся в состоянии покоя, должна быть простой волной.

Так как и = c(a)dcjo, то формула (20*) дает функциональное соотношение между и и о, а следовательно, и между и и с. Делая снова подстановку в (20*), при р = *рМт > легко показать, что более плотные части газа нагоняют менее плотные ([6], стр. 96), причем с постоянной скоростью. Следовательно, в течение конечного промежутка времени неизбежно возникает разрыв плотности или «ударная волна», что находится в самом явном противоречии с гипотезой (Е) из § 1.

§ 14. Термодинамика невязких жидкостей

Для того чтобы объяснить явление ударной волны, необходимо привлечь некоторые важные термодинамические понятия); одних механических концепций для этого недостаточно. Так, например, необходимо рассматривать внутреннюю энергию жидкости Е{р, Т) даже тогда, когда ее можно исключить из окончательных уравнений, как в случае адиабатического течения. Эта величина входит в закон сохранения энергии согласно формуле

dQ==dE + pdV. (21)

Здесь pdV есть дифференциал работы при отсутствии внешних сил.

Совершенный газ можно определить посредством уравнений Эйлера, термодинамического уравнения состояния р = pRT, где

) Превосходное изложение термодинамики сжимаемых жидкостей см. в ПО] или Л и п м а н Г. В., Р о ш к о А., Элементы газовой динамики AV, ИЛ, I960. (На русском яз.: Зельдович Я Б., Теория ударных волн и введение в газодинамику, М., изд. АН СССР, 1946; 3 а у э р Р.. Введение в газовую динамику, М., Гостехиздат, 1947. -При.ч. перев.)

R - газовая постоянная, и формулы для внутренней энергии Е - = СгТ, где Cv - еще одна постоянная (удельная теплоемкость при постоянном объеме).

Для изотермического течения Г = const и из соотношения р = pRT следует формула (За) при - 1. В случае адиабатического течения предполагается, что теплота переносится только посредством конвекции (нет ни теплопроводности, ни излучения); при этом имеем <iQ = О в формуле (21). Для единичной

массы так что V = -jj имеем тогда pV = RT п Е = СуТ = = {Cv/R)pV. Тогда формула (21) дает в результате уравнение 0==aE+pdV= (CylR) Vdp-+-(1 + CylR)pdV.

Полагая i={R + Cy)ICv, получаем соотношение dpfp- = -dV/V = idp/p, из которого следует «политропное» уравнение состояния (За) : р = кр".

Совершенную жидкость можно определить посредством уравнений Эйлера и условия несжимаемости V = const (уравнение (36)).

Уравнения Рэнкина - Гюгонио.

Используя законы сохранения массы, количества движения и энергии, можно также найти соотношение между значениями давления, плотности и температуры pi, pi, Ti перед ударной волной и значениями тех же величин рг, ра, Тг за ударной волной. Например, для совершенного газа эти величины зависят только от одного параметра - отношения давлений Р = рг/ра или интенсивности скачка Р-1. Тогдг получим ([10], стр. 30) следующие равенства:

р.""рр+1 -y+i* "i , (t-fi)CP-i)

Парадокс обратимости, в силу которого можно было бы поменять местами индексы 1 и 2 в предшествующих формулах и принять Р < 1, можно избежать, если привлечь второе начало термодинамики. (В § 13 принцип, согласно которому более плотные части баротропных течений нагоняют менее плотные, приводит к такому же заключению. Это следует из неравенства .f = ( 4- Cy)[Cv > 1, которое в свою очередь следует из положительности величин R я Су в силу физических соображений.)

Соотношения для косых ударных волн можно легко вывести из соотношений для нормальных скачков уплотнения, используя подвижные оси (§ 67).