Глава II ПАРАДОКСЫ ВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ

§ 19. Уравнения Навье - Стокса

Несмотря на значительную область применения уравнений Эйлера - Лагранжа, их, вообще говоря, больше не считают приемлемой основой для теоретической гидродинамики. Вместо этих уравнений используются уравнения Навье - Стокса, вывод которых мы сейчас кратко изложим.

Впервые эти уравнения были выведены Навье (1822 г.) и Пуассоном (1829 г.), применившими упрощенную молекулярную модель для газов, что привело к введению положительной вязкости р > О, которая, как предполагалось, описывает молекулярную диффузию количества движения.

Однако в настоящее время общепризнано, что простые законы для межмолекулярных сил, принятые обоими учеными, безнадежно не соответствуют действительности, особенно в случае реальных жидкостей. Поэтому принципиально более предпочтительным в настоящее время считается континуальный подход Сен-Венана (1843 г.) и Стокса (1845 г.), который позволяет избежать указанных предположений). Мы начнем с изложения этого континуального (или «макроскопического») подхода.

Такой подход основан на фундаментальной гипотезе, заключающейся в том, что к напряжениям давления, которые рассматривал Эйлер, нужно добавить вязкие напряжения, линейно зависящие от скоростей деформаций. Ниже приводится краткое резюме применяемых при этом аргументов.

Задача заключается в том, чтобы найти связь между матрицей (вязких) напряжений Р = p,j и матрицей скоростей деформации II dui/dxj II. Коши показал, что для любой среды, если считать недопустимыми бесконечно большие угловые

в ГШ Полную библиографию см. в [7], стр. 723; исследования Стокса см. ж1и7; оР " дальше; стр. 182 и дальше. Хоронюе современное ичло-ГпТ "п- in J, /. Math. Mech., 8 (1959), 4.59-470. (См. также [1*1, I-i . - Прим. перев.)

ускорения (гипотеза (Е) из § 1), матрица напряжения должна быть симметричной; рц = рц. С другой стороны, матрица скорости деформации есть сумма кососимметричной составляющей

Wduildxj - dujjdxiW

соответствующей вращению абсолютно твердого тела, и симметричной составляющей

Wduildxj + dujidxiii 2 •

Так как при вращении твердого тела физическая деформация отсутствует, то симметричная матрица S выражает истинную скорость деформации.

При наличии изотропности главные оси матриц Р и S должны совпадать (мы напоминаем известную теорему алгебры, согласно которой всякую симметричную матрицу можно свести к диагональному виду путем вращения, приведя ее к соответствующим «главным» осям координат). Далее, из наших предположений о линейности и изотропности нетрудно получить, что относительно главных осей справедливо соотношение

p, = /;-Xdivu- (1)

при надлежащих постоянных Я и ji. Кроме того, с учетом симметрии относительно главной диагонали, можно записать равенство

dui duj

Рч-Щ + -дТ,= J-

Возвращаясь к общей системе координат, мы получим следующие основные уравнения:

/7, = /78,, - X di V u - I. (- + ) . (1 *)

которые будем применять ниже.

Если не вводить предположения о несжимаемости, то очень трудно получить для системы уравнений Навье - Стокса корректно поставленную краевую задачу, условия которой были бы физически состоятельными. Прежде всего часто бывает неизвестна величина А, (см. § 33). Стоке пробовал предположить, что «вторая вязкость» ji обращается в нуль:

l = + l = 0. (2)

§ 20. Реальные газы и жидкости

Это может быть выведено из кинетической теории для одноатомных газов). Можно и ошибочным способом вывести условие (2), определив давление р в виде (рп + Р22 + Рзз)/3. Ловушка состоит в том, что не известно, определяет ли это «давление» плотность согласно термодинамическому уравнению состояния р = р(р, Т), в котором р и р берутся из статических измерений. Если это так, то условие (2) имеет место ([7], стр. 718); в противном случае, мы не знаем, как связать термодинамическое давление с тензором напряжения рц .

§ 20. Реальные газы и жидкости

Помимо сказанного, в реальных жидкостях величины I w ц, изменяются вместе с температурой Т и давлением р; например, изменения температуры имеют большое значение для смазки. В лучшем случае можно надеяться, что Х(р, Т) и [i{p, Т)-однозначные функции. Для того чтобы эту зависимость учесть математически, уравнения Навье - Стокса необходимо дополнить по меньшей мере уравнением теплопроводности. Это делает краевую задачу совсем не поддающейся решению; но даже и дополненная система физически не точна, так как мы пренебрегли излучением. (Такое пренебрежение весьма правдоподобно в силу гипотезы (В) из § 1.)

Однако движение реальных жидкостей связано и с другими физическими эффектами, которые не учитывались ни Навье, ни Стоксом, Так, в реальных газах при гиперзвуковых скоростях течения важную роль играют эффект релаксации, молекулярная диссоциация и ионизация 2). Будущий специалист по гидромеханике, которому придется иметь дело с задачами, связанными со спутниками и их возвращением, должен дополнительно к уравнениям Навье - Стокса хорошо ознакомиться с химической кинетикой.

Подобным образом бичом первых сверхзвуковых аэродинамических труб были ударные волны, возникавшие из-за конденсации водяных паров в воздухе - еще одна «скрытая переменная», которую игнорируют при постановке задач по Навье и Стоксу; см. [16, гл. 5].

Экспериментально было обнаружено, что затухание звука в жидкостях и газах - явление, которое определенно предска-

) Maxwell J. С, Phil. Trans., 157 (1867), 49-88; Чепмен С, К а у-линг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1961. Дюгем показал, что из второго начала термодинамики следует ц > 0.

) См. Ligh thill М. J., в «Surveys in Mechanics*, Cambridge Univ Pi-ess, 1956; 250-351; Хейз У. Д. и Пробе тин Р. Ф., Теория гипер-авуковых течений, М., ИЛ, 1962.