v(y)=-v"().

где и и У - характерные длина и скорость полного масштаба. Подобным же образом допускают инвариантность относительно

преобразований (22) коэффициента давления Ср - {р-Ptjv",

где Ра -давление в окружающей среде. В случае невязкой

И, таким образом, по-видимому, он дает хорошее теоретическое обоснование моделирования по числам Fr, Re и Q*.

Хотя только что приведенное рассуждение весьма содержательно и его стоит запомнить, оно страдает тем недостатком, что учитывалось только одно из трех фундаментальных уравнений гидромеханики, а именно уравнение движения. Итак, при этом остались в стороне уравнение неразрывности

+ = и-" + (29)

и уравнение состояния, которое можно записать в виде

Р =/(/»). (30)

По этой причине мы будем называть его «частным инспекционным анализом», а соответствующий процесс, когда рассматриваются корректно поставленные условия, полностью определяющие течение, будем называть «полным инспекционным анализом».

§ 70. Инерциальное моделирование

На практике соображениями удобства экспериментирования и экономии часто руководствуются не только при выборе используемой жидкости (например, воздуха или воды), но и при выборе размеров моделей и скорости течения. Использование малых моделей для представления действительной картины большего масштаба обычно обосновывается с помощью анализа размерностей. В частности, обычно считают приближенно выполненным следующее условие.

Принцип инерциального моделирования, безразмерные величины остаются без изменения при всех преобразованиях вида (22).

Так, если L - характерная длина и V-характерная скорость, то считают, что V"u(Z,~x) инвариантно по отношению к преобразованиям (22). В качестве следствия можно получить, исходя из значения величин на модели и(х), действительнук) величину v(y) посредством соотношения

§ 70. Инерциальное моделирование 141

ЖИДКОСТИ из этого следует инвариантность коэффициента Со = dI~pVA, где D - лобовое сопротивление и А - площадь поперечного сечения. Заметим, однако, что неизменность величины р/не предполагается (см. § 72): анализ размерностей

охватывает не все.

В действительности метод инспекционного анализа позволяет нам обойтись без всех предположений анализа размерностей. В частности, принцип инерциального моделирования можно строго вывести из стандартных уравнений для несжимаемой невязкой жидкости при условии отсутствия свободной поверхности.

Так, почти тривиальные выкладки показывают, что преобразования (22) в сочетании с преобразованиями и = аи/р, р = - 7р/а и р= (i/ap2)p сохраняют неизменными как уравнения движения Эйлера и уравнение неразрывности, так и условие отсутствия вихрей V X и = 0. Этим доказана следующая теорема.

Теорема 5. В случае несжимаемого течения к уравнениям движения Эйлера, уравнению неразрывности и незавихренности и к краевым условиям Эйлера на твердых стенках применим принцип инерциального моделирования.

Поскольку сформулированные выше условия определяют корректно поставленную краевую задачу (задачу Неймана, см. § 4) для стационарного течения при заданном Ра, отсюда вытекает следствие.

Следствие. Если справедливы уравнения Эйлера для безвихревого несжимаемого течения, то измеренное значение Со не должно зависеть от размеров, скорости движения и плотности жидкости.

Фактически, ввиду парадокса Даламбера, этот результат ме-Яве интересен сам по себе, а интересен в качестве иллюстрации важного метода. Однако приведенные рассуждения равным образом применимы к течениям Жуковского (§ 8), к «следам») Кирхгофа (§ 39), к течениям Гельмгольца - Бриллюэна (§ 47) и к теории вихревых дорожек Кармана (§ 56). Принцип инерциального моделирования справедлив также для примитивной ньютоновой кинетической теории сопротивления воздуха и для квазиэмпирической формулы Эйлера, выражающей лобовое

) То есть к кавернам. Заметим, что. поскольку теории течений Эйлера • Жоасхого обратимы, в преобразованиях (22) можно рассматривать даже

сопротивление и подъемную силу в виде определенных интегралов

Если применить теорему 5 к ускоренному движению, возникающему из начального состояния покоя, то получим, что коэффициент присоединенной массы /г, выражающийся отношением 2)

. Присоединенная масса

Масса перемещенной жидкости

определяется формой рассматриваемого тела и не зависит от его размеров, от изменения ускорения и от плотности жидкости.

Экспериментально проверено, что принцип инерциального моделирования приближенно справедлив при режимах, соответствующих широкому диапазону изменений Re. Однако он сразу перестает быть справедливым, когда появляются перемежающиеся вихри и турбулентность в пограничном слое (например, вблизи 1/Re -0,02 и 0,00005, см. § 28).

§ 71. Моделирование по числу Рейнольдса

Гораздо большее значение имеет применение метода инспекционного анализа к уравнениям для несжимаемых вязких жидкостей. В этом случае, в силу теоремы 2 из § 21, получается следующая теорема.

Теорема 6. Если уравнения Навье - Стокса для несжимаемой вязкой жидкости вместе с условиями несжимаемости и прилипания на стенках приближенно определяют независящее от времени (статистически) течение жидкости, то справедливо соотношение (8).

Действительно, соотношение (8) весьма убедительным образом было подтверждено экспериментально для самых разнообразных жидкостей и газов ). Как показано на рис. 8, разрушение течения Пуазейля в трубах для воздуха, воды и многих других жидкостей наступает при одном и том же числе Рейнольдса. При числах Маха, меньших М = 0,3, коэффициенты

) Эти теории подробно рассмотрены в книгах Painleve Р., Lemons sur la resistance des fluides, Paris, 1930 и С r a n z [5], гл. II.

) Присоединенная масса тела в жидкости (гл. VI) - это разность между его инертной массой в жидкости и в вакууме.

) См. § 25 и приведенные там ссылки на литературу, а также [54], стр. 16-17. Теорию разработал Стоке, [13], т. 3, стр. 17. Так как турбулентные движения обычных жидкостей и газов динамически подобны, по-видимому, маловероятно, чтобы турбулентность можно было связать с кинетической теорией иначе, чем косвенным образом - через вязкость. Подобным же образом были исследованы масла - В о s w а 11 R. О., Brierly J. С, Ргос. Inst. Mech. Eng.. 122 (1932), 423-569.