§ 10. Волновое лобовое сопротивление тонких крыльев 35

Для того чтобы определить F{r) и G{s), нужно использовать условие (7), которое при стационарном течении сводится к ра-

венству = О "ЛИ

= аУ1{х) (15)

для «тонкого крыла», ограниченного кривой у = ц{х). Мы заменили в (15)- на -, предположив, что тангенс угла наклона ti(jc) < 1. Действительно, такая гипотеза (или, вернее, г\{х) < М) является основным допущением теории тонкого крыла.

Чтобы избежать парадокса обратимости и получить корректно поставленную задачу, необходимо систему (15), (15) дополнить некоторой добавочной гипотезой необратимости, выражающей интуитивно очевидный физический факт, что «волны скатываются вниз по течению». Если мы расположим тонкое крыло вдоль оси X, то последнюю гипотезу можно записать в следующем виде:

/мЗГГу). если у < О,

(fix, у)- , г (15*)

0(;с+/М -1 у), еслиу>0.

С учетом результата подстановки в уравнение Бернулли (5) наша система уравнений позволяет заключить о существовании волнового давления, которое, в приближении теории возмущений, получается в виде р = ра*т1(д:) на верхней поверхности крыла у = ц{х) и в виде р = рац(х) на нижней поверхности крыла у = г\{х). Определив продольную составляющую давления и выполнив интегрирование, мы получим для лобового

сопротивления р dy выражение

D-pa*/{ridri-+.;,di} = pa J[Y + Vkд:. (16)

где интеграл берется по длине крыла.

Для достаточно малых углов наклона приведенные формулы вполне хорошо согласуются с экспериментом ([10], стр. 346, 350) и, очевидно, дают положительное сверхзвуковое «волновое лобовое сопротивление». Любопытно, что они согласуются с очень старой квазиэмпирической формулой Эйлера, в которую входит универсальный постоянный множитель, определяемый, по предположению, экспериментально).

) Относительно применения к баллистическим задачам см. [5], § 12-16.

) См. Ward G. N.. Linearized theory of steady high-speed flow, Cambridge Univ. Press, 1955.

) Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 64 (1932). 303-310. Относительно современной <лннеарнзованной> теории см. (IC), § 8.3; или [15], гл. VIII, § 15.

•) Ко pal Z., Phys. Rev.. 71 (1947), 474; [10], стр. 377; подробнее-Tables of supersonic flow around yawing cones, Mass. Inst. Technology (1947), особенно стр. XVI. XVll. Экспериментальные данные приводят Holt М. и Blackie J., /. Aer. Sci.. 23 (1956), 931-936.

По-видимому, впервые это показал L i g h t h i II M. J., Reps. Mem. Aer. Res. Comm.. 2003 (1945); см. также Broderick J. В., QJMAM, 2 (1949), 98-120 и [10], стр. 307.

«) Ursell F. and Ward G. N., QJMAM. 3 (1950). 326-348; Goldstein S., Proc. Int. Math. Congress, Cambridge, 1950, т. 2. особенно стр. 288-289; Adams М. С, Sears W. R.. Л Aer. Set., 20 (1953), 85-98.

§11. Тонкие тела вращения

Слишком сложно рассматривать здесь применение уравнения (14*) Прандтля - Глауэрта к сверхзвуковому обтеканию так называемых «тонких», или «удлиненных», тел произвольной формы). Мы только приведем несколько примеров, иллюстрирующих общий тезис о том, что если результаты не получены математически и физически строго, то им присуща тенденция становиться ненадежными.

Относительно простую задачу представляет собой осевое обтекание твердых тел вращения (артиллерийские снаряды без рыскания). Карман и Мур*) первыми пришли к выводу, что наличие волнового лобового сопротивления вызывает резкий рост сопротивления при движении тонкого снаряда, когда М= 1, и оценили это возрастание сопротивления на основе упрощений, указанных в § 10. Более чем через 10 лет Копал распространил этот вывод на снаряды с рысканием и показал, что упрощенная теория приводит к ряду ошибочных заключений). В частности, в случае конусов под углом атаки поперечная сила, подсчитанная по формулам из § 10, убывает с возрастанием М, в то время как правильное приближение по теории возмущений дает ее увеличение (парадокс Копала).

В настоящее время признано (см. прим. 1) на этой стр.), что простая линеаризованная теория, приведенная в § 10, даже для тонких тел приводит к неправильному значению силы. В случае обтекания сверхзвуковым потоком тонких тел вращения, квадратичные члены в уравнении Бернулли при подсчете давления будут того же порядка величины, что и линейный член*).

Для некоторых частных приложений простые линеаризованные уравнения из § 10 нужно видоизменять тем или иным способом*). Так, для крыльев конечного размаха под углом атаки нужно рассматривать сбегающие вихревые слои. Кроме того.

§ 12. Парадокс Эрншоу 37

В случае закругленных тел вращения, таких как сфера, линеаризованная краевая задача, определяемая посредством уравнений (14*) и (15), дает несуществующие особенности в критических точках (т. е. на оси симметрии). Но самый существенный дефект теории «тонкого крыла» заключается в том, что она не в состоянии предсказать существование ударных волн.

Ударные волны легко наблюдаются в виде четких линий на мгновенных фотографиях движения снарядов, таких, как снимок, изображенный на фронтисписе. В случае конусов и других остроконечных тел при достаточно больших числах Маха эти волны «присоединены» к вершине подобно характеристикам решений линейных гиперболических дифференциальных уравнений. В других же случаях они «отходят» от вершины и оказываются при этом впереди снаряда - там, где по линеаризованной теории не должно быть никакого возмущения.

§ 12. Парадокс Эрншоу

Понятие «ударной волны» можно также вывести теоретически, отправляясь от простого парадокса, которым мы обязаны Эрншоу). Наш орган слуха свидетельствует, что звук проходит большие расстояния почти без искажений и с постоянной скоростью, зависящей от температуры воздуха. Этот опытный факт делает правдоподобным предположение, что плоские звуковые волны распространяются в идеальном невязком газе, не искажаясь и не затухая. Однако это не так, что показывает парадокс Эрншоу.

Парадокс Эрншоу. При адиабатических колебаниях газа плоские звуковые стационарные волны конечной амплитуды математически невоз.ножны.

Доказательство. Предположим, что форма звуковых волн неизменна и что волны распространяются с постоянной скоростью, нормальной к волновому фронту. Тогда, если мы перейдем к осям координат, движущимся вместе с волнами, то увидим, что движение жидкости не только одномерно, iro и стационарно. Выбрав в качестве направления движения ось х, мы можем написать р = р(д:), и = и(х) и т. д., и (без учета силы тяжести) уравнение Бернулли (8) сведется к виду udu + dpjp = 0. Кроме того, уравнение неразрывности (1) перейдет в равенство

) Earnshaw S., Phil. Trans.. 150 (1860), 133-148; см. также Stokes, Phil. Mag.. 33 (1848), 349; R a n к i n e VV. J. Phil. Trans., 160 (1870), E~-[2], T. 5, 573 (или Proc. Roy. Soc, A84 (I9I0\ 274-284); [7], § 283; l"*!. § 51.