точно хорошо согласовываться с наблюдениями. И действительно, многие экспериментыпоказали хорошее согласование с теорией. К сожалению, амплитуды при этом обычно не измерялись, а погрешности эксперимента часто были одного порядка с поправкой на вязкость. Данные Бесселя, по-видимому, занимают особое место; некоторые побочные эффекты в этих опытах были проанализированы Стоксом {[13], т. 3, стр. 112).

Было установлено также, что вдали от всех твердых границ движение жидкости при ускорении из начального состояния покоя на протяжении примерно диаметра хорошо согласуется с теорией идеальной жидкости. Однако, после того как сфера подвинется на несколько диаметров, наблюдается отрыв потока (отделяется вихревой слой), и тогда стационарное значение Со становится более важным 2). Еще скорее это происходит при ускоренном движении диска перпендикулярно к его плоскости ); этого и следовало ожидать, так как острая кромка благоприятствует отрыву. Вообще говоря, тенденция к отрыву зависит от величины полного перемещения, выраженной в диаметрах; так, при периодическом движении она заЬисит от f/maxt/d, где t - период.

§ 104. Коэффициенты устойчивости

При исследовании устойчивости стационарного движения в воде многих типов тел были использованы в соответствующем оформлении идеи, подсказываемые лагранжевыми формулировками (§ 99, 100). Если эти формулировки применимы, то можно подставить формулу (2) в соотношение (3), чтобы получить следующее уравнение:

Qi = I>Tijiq)qj + FAq, ф. (13)

где Рг выражаются формулой

i = 2r/*(q)qq„ (13)

) Laird L. Н., Phys. Rev., 7 (1898), 102-105; Krishnayar S., Phil. Mag., 46 (1923), 1049-1053; Yu Y. Т., /. Appl. Phys.. 13 (1942), 66-69 и 16 (1945), 727-729; St el son T. H., Thesis Ph. D., Carnegie Inst. Tech. (1952). Cm. также предыдущие ссылки, a также примечания к § 104-115.

2) Cook Q., Phil. Mag., 39 (1920), 350-382; Hirsch P., ZAMM. 3 (1923), 93-107; В a g Ii a r e 11 о G., Ric. Sci.. 26 (1956), 437-461. О вычислении расстояний, на которых происходит отрыв потока, см. Т о 11 m i е п Н., Handbuch Ехр. Phys.. 4 (1931), ч. 1, 272-279; Goldstein S., Rosen-head L., Proc. Camb. Phil. Soc, 32 (1936), 392-401.

3) Luneau J., C. /?. Paris. 227 (1948), 823-825 и 229 (1949), 227-228; I vers on H. W., Balent R., /. Appl. Phys.. 22 (1951), 324-328; в пяти случаях наблюдалось теоретическое Л.

а Г{ = {dTijldq-\-dTi/dqj - dTjJdqi)/2 суть компоненты тензора Кристоффеля ([76], стр. 39). Кроме того, входящие в эти формулы функции в принципе можно, как утверждал Лагранж (§1), определить а priori при помощи теории потенциала.

На практике предполагается известным лишь вид уравнений (13) и (13), причем формула (13) фактически соответствует принятию «инерциального моделирования» (§ 70). Указанные уравнения применяются обычно только к малым возмущениям стационарного движения, что позволяет считать Tij и г{* в уравнениях (13) и (13) постоянными величинами. Эти постоянные (подобно Св, Cl и др.) обычно определяют эмпирически - так, чтобы они соответствовали данным наблюдения; эмпирические константы, определяемые таким образом, называются коэффициентами устойчивости.

Во время первой мировой войны такие коэффициенты использовались, например, для исследования устойчивости вращающихся снарядов). В настоящее время они применяются к анализу устойчивости полета ракет и управляемых снарядов; случай снарядов со стабилизатором гораздо проще для изучения.

Чрезвычайно важно и хорошо разработано их применение к анализу устойчивости полета самолетов. Тесно связан с этим анализ устойчивости движения дирижаблей (и подводных лодок). В этих случаях особенно большую роль играет инерция воздуха (воды), в котором находится движущееся тело. См. [45*].

Вдохновляемые идеями Лагранжа, различные авторы пытались вычислять коэффициенты устойчивости исходя из априорных соображений. Хотя для дирижаблей и подводных лодок удалось добиться некоторых успехов, эксперименты показали, что в действительности присоединенная масса при стационарном движении испытывает значительные изменения. Соответствующие вычисления коэффициентов устойчивости для самолетов гораздо труднее: нужно учитывать циркуляцию и распределение вихрей; большие сомнения вызывает использование условия Жуковского. Мы отсылаем читателя за подробностями к технической литературе ).

) Fowler, Gallop, Lock, Richmond, Phil. Trans. Roy. Soc, A221 (1920), 295-387 и A222 (1922), 227-247; см. McShane E. Y., К e I-1 e у J. L., R en 0 F. V., Exterior ballistics, Denver, 1953.

2) Обзоры вместе с библиографие!! дали Reissner Е., Bull. Am. Math. Soc, 55 (1949), 825-850 и Qarrick I. E., Appl. Mech. Revs, 5 (1952) 89-91; CM. также Scruton W. R., Aer. Res. Comm. Rep., 1931. Относительно дирижаблей см. Cowley, Levy, Frazer, Relf, Jones, Adv. Comm. Aer., Tech. Rep., 1918, 1919, стр. 95-127; Szebehely V., Proc. Sec. Nat. Congr. Applied Mech. USA (1954), 771-776.

На практике кажущейся массой интересуются также в связи с тем влиянием, которое она оказывает на собственные частоты колебаний корабля, равно как и на частоты бортовой и килевой качки. В первом случае влияние свободной поверхности легко оценить. В виду относительно большой частоты можно положить при этом t/ = 0. В других случаях влияние образующихся на поверхности волн учесть сложнее. И на этот раз мы отсылаем читателя к литературе О • По-видимому, мало имеется систематических знаний относительно зависимости коэффициентов устойчивости от числа Фруда.

Наконец, многие авторы применяли понятие кажущейся массы для оценки ударных сил при посадке гидроплана на воду при входе снарядов в воду и другие жидкости. Краткое резюме по этому вопросу приведено в работе [17], стр. 243-250.

Хотя дедуктивная теория § 99-102, строго говоря, не применима ни к одному из приведенных примеров, все же в каждом из них понятие тензора присоединенной массы оказалось плодотворным.

§ 105. Присоединенная масса и количество движения

В большинстве приложений влияние присоединенной массы сочетается с воздействием многих других факторов, в исследовании которых заинтересованы только специалисты. Поэтому мы сейчас вернемся к чистой теории кажущейся массы - теории, привлекательной и с эстетической и с математической точек зрения. Но прежде чем перейти к более абстрактным рассмотрениям. (§ 108-112), мы приведем несколько частных результатов, которые помогут уяснить смысл вводимых нами абстракций.

Составляющие тензора присоединенной массы наиболее удовлетворительно определяются посредством интегралов кинетической энергии подобно формулам (2) и (4). Эти интегралы сходятся на бесконечности, так как (§7) V U = О (г) в пространстве. В случае плоских течений Дирихле интеграл кинетической энергии также сходится на бесконечности: и в этом случае интеграл J J iVUVU)dx dy = o(j гг drj конечен.

) Nlcholis H. W., Trans. Inst. Nav. Arch., (1924), 141-163; Lewis F. M., Trans. Nav. Arch. Mar. Eng., 37 (1929), 1-18; Moullin E. B„ Proc. Camb. Phil. Soc. 24 (1928), 400-413 и 531-558; Brown A. D. и др., там же, 26 (1930), 258-262; Weinblum G., Schiffbau, 32 (1931), 488-495; 509-511 и 525-529; Хаскинд М. Д., Изв. АН СССР (1946), 23-34 н ПММ, 10(1946), 475-480; Wendel К., Jahr. der Schlffsbau Ges., 44 (1950), 207-255.

) Первая задача о присоединенной массе плавающего тела была решена Н. Е. Жуковским {28*]. Современное состояние вопроса см. в работах {7*], [17*], [26*-33*]. - Яр«ж ред.