зывается любой точной теорией сжимаемых вязких жидкостей,- в значительной мере зависит от молекулярных эффектов (релаксации), см. § 33.

Ввиду упомянутых выше трудностей, по-видимому, разумно ограничиться рассмотрением несжимаемых вязких жидкостей, но и в этом случае известны различные аномалии. Так, многие жидкости, состоящие из длинных молекулярных цепочек или содержащие глинистые взвеси, называются «неньютоновыми» - таков употребляемый в настоящее время рабочий термин для жидкостей, которые не удовлетворяют уравнениям Навье -Стокса. Сверхтекучесть жидкого гелия - еще одно явление, которое не согласуется с теорией Стокса ).

§ 21. Несжимаемые вязкие жидкости

Ввиду трудностей, описанных в § 20, основное внимание математиков было сосредоточено на уравнениях Навье - Стокса для несжимаемых вязких жидкостей в предположении, что величины ц и р можно считать примерно постоянными. Большинство специалистов считает, что теоретическая гидродинамика, основывающаяся на уравнениях Навье - Стокса, дает довольно точное приближение динамики реальных жидкостей, если число Маха М настолько мало, что можно пренебречь эффектами сжимаемости. Они уверены в том, что (перефразируя Лагранжа) «если бы уравнения Навье - Стокса были интегрируемы, то при малых числах Маха можно было бы полностью определить все движения жидкости» (ср. § 1). Для того чтобы исследовать, насколько обоснована такая уверенность, мы преобразуем сначала эти уравнения к более удобному виду.

Объединив уравнения (1*) с условием несжимаемости (формула (1) из гл. I), мы получим уравнение

/ dui да j ~

Если при обычном выводе уравнений движения учесть члены, содержащие величину ц, то получим вместо уравнения Эйлера (2) в гл. I следующее уравнение:

gi + igrad/7 = g + vv2u, v-. (3)

Вместе с уравнением

div u = О (4)

) См. London F., Superfluids, Wilev, 1954, стр. 6-13; Donnelly R, J., Phys. Rev.. 109 (1958), 1461 -1463и приведенную гам литературу.

§ 21. Несжимаемые вязкие жидкости 51

уравнение (3) определяет (ньютонову) несжимаемую вязкую жидкость.

Легко учесть, как действует сила тяжести на твердое тело, погруженное в подобную жидкость, используя следующий принцип ).

Теорема 1. Д.хя вязкой жидкости с постоянной плотностью ро гравитационный эффект эквивалентен наложению гидростатического давления poG.

Доказательство. Полагая в уравнении (3) gi- = -dG/dxi, где G - гравитационный потенциал, мы получим в результате уравнение

-+- -1 grad р = v?2«;, где р = р+ poG. (5)

Предостережение. Заметим, что преобразование теоремы 1 не сохраняет обычного краевого условия на «свободной поверхности» р = const для границы газ-жидкость. Следовательно, оно бесполезно при изучении волн на поверхности и кавитации (гл. П1).

Для того чтобы получить из уравнений (3) и (4) корректно поставленную краевую задачу, вместо уравнения (7) гл. I введем краевое условие прилипания ) в следующем виде:

и(х) = 0 на любой фиксированной границе. (6)

(На движущихся границах и (х) = v(x) - скорости движения границы, в то время как в невязком случае требуется, чтобы была непрерывной только нормальная составляющая скорости.) Напомним также основной принцип подобия.

Теорема 2. Пусть u = f(x, t) удовлетворяет уравнениям (3), (4) и (6) при р= const. Если величины V, L, v, V, L, v постоянные и такие, что VL/y = VLh, то

„ = g,x.<.= (),(,4) (7)

также удовлетворяет уравнениям (3), (4) и (6), где проведена замена р на р и р на р, причем

p-G=(p-0). (8)

) Karman Th., 1. Аег. Sci., 8 (1941), 3-37-356. В невязком случае этот результат получен Даламбером, Theorie de la resistance des fluides, статьи 48, 56, 91, и Аванцинн (1807).

) О значении этого условия мы скажем в § 3+.

Гл. П. Парадоксы вткого течения

Другими словами, любое изменение масштаба (в пространстве и времени), сохраняющее неизменным число Рейнольдса VL/v = pVL/y. = Re, переводит несжимаемые течения, удовлетворяющие уравнениям Навье - Стокса, в решения тех же самых уравнений.

80 10

100 60

0.8 0.4

7П -

?. 1

0,2 0.1

1 г 5 ю

г 10

neudfv

Рис. 7а. C (Re) для цилиндра.

800 400

80 40

0.08 0.04

1000 600

200 100 ВО

20 10 6

0.1 0,06

0,02 0,01

0Щ0,080ЩЩ2 4 8 20 80200 800 4000 20ООО

Рис. 76. (Re) для сферы.

400000 4000000

Следствие. Если два стационарных течения удовлетворяют краевой задаче (3), (4), (6) при одном и том же числе