§ 111. Сведения из теории групп Ли 221

параметров), а a{t) является ее отображением при изометрий. а именно при групповом переносе a(t) -0L{0)o(t) = a{t).

Кроме того, так как полная кинетическая энергия при стационарном движении постоянна, то, очевидно, s = v постоянна в соответствующем римановом многообразии V. Отсюда, согласно § 108, при стационарном движении вектор силы Q равен произведению вектора геодезической кривизны однопараметрической подгруппы a(h) на постоянную v. Следовательно, сила, действующая на твердое тело при его стационарном движении в идеальной жидкости, пропорциональна вектору геодезической кривизны соответствующей однопараметрической подгруппы евклидовой группы V при надлежащей «лево-инвариантной» метрике в группе V. А эта лево-инвариантная метрика определяется во всех точках уже рассмотренными в § 100-102 «инерциаль-ными коэффициентами» Tij (0).

§ 111. Сведения из теории групп Ли

Теперь мы выведем формулу для геодезической кривизны однопараметрических подгрупп произвольного риманового группового многообразия. Этот результат, между прочим, представляет интерес и в геометрии групп Ли - это еще одно свидетельство того, что вся математика по существу едина.

Объем книги не позволяет изложить теорию групп Ли достаточно полно, для того чтобы все подробности вывода были ясны. Все же хочется дать достаточно сведений для того, чтобы можно было уяснить себе смысл окончательной формулы, по крайней мере в случае евклидовой группы.

Если твердое тело движется с единичной скоростью параллельно оси Xl, то скорость любой частицы тела равна (1, О, 0). Поэтому если F{Xi, хч, Хз) есть произвольная функция, определенная во всем пространстве, то скорость изменения значения этой функции по отношению к такой частице равна dFjdxi. Оператор д1дх\, определенный таким образом, называется символом Лагранжа и выражает бесконечно малое преобразование, связанное с поступательным движением твердого тела в направлении, параллельном оси Хь

Если твердое тело вращается с единичной угловой скоростью (один радиан за секунду) вокруг оси Х\, частица с координатами (xi, Xz, Хз) будет иметь скорость (О, -Хз, х). Скорость изменения функции F(Xb Х2, Хз) относительно данной частицы равна Х2дР/дхз - XzdF/dx2. Поэтому бесконечно малое преобразование, связанное с вращением относительно оси Хи выражается

) О них см. в следующем параграфе.- Ярил, перев.

<?jc, -4 - -V2 --3

д д д

Е- = х,--х,, (30)

Р д р д д

Им соответствуют векторные поля (поля скоростей) (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, IX, (О, -А-з, хг), (хз, О, -x,), (-х2, хь 0).

Результат действия поля скоростей (бесконечно малого преобразования) Ei в течение времени t обозначается через ехр{ШО; таким образом, ехр(2Я4) обозначает поворот около оси xi на два радиана. Если < О, то exp{tEi) будет обозначать преобразование, обратное преобразованию ехр(-ifE,). Таким образом, для всех действительных t, и имеем тождество

ехр (tEi) ехр (иЕ;) = ехр ({ + «} Я,). (31)

Каноническими параметрами, например евклидовой группы, называются параметрические представления «твердых» движений при помощи векторов, так что движение твердого тела, которому соответствует вектор t = (ti, ..., te), представляет собой конечное преобразование

exp(i£i+ ... +/бЯб), (32)

которое выражает полное перемещение тела при воздействии на него поля скоростей ii -f- ... -f- еЯе в течение единицы времени.

Наконец, скобка Пуассона, или коммутатор [£,-, Ej] двух бесконечно малых преобразований Е{ и Ej, определяется как двойной предел

ехр i-tEi) ехр (-uEj) ехр {tE) ехр (uEj)]. (33)

t. и-*0

Известно, что этот предел представляет собой дифференциальный оператор )

= (34,

Л, к

) Запись EiEj всюду означает, что сначала применяется оператор Е,-. потом Е].

СИМВОЛОМ Лагранжа (линейным дифференциальным оператором) xtdldxz - xzdidxz.

Итак в соответствии с шестью степенями свободы движения твердого тела мы будем иметь шесть бесконечно малых преобразований, которые можно записать в виде

Р д с-

который МОЖНО легко вычислить. Так, например-, в случае евклидовой группы получим тождества:

Es]-~Ez; {Е„ Е,\==-Е,. (35)

С помощью очевидного тождества [Ei, Ej] = -[Ej, £,], из .которого, в частности, следует [£,-, £J = О, и циклических перестановок индексов в тождествах (35) можно вычислить также и все другие скобки Пуассона Еу, .,., Eg.

Интересно отметить, что в случае бесконечно малых вращений £4, Es, Еб, скобка [Ei, Ej] есть просто внешнее, или векторное, произведение Ej X Ei. Опять-таки, если Ei и Ej (или эквивалентные ехр (tEi) и ехр (uEj)) перестановочны, так что EiE, = = EjEi, то [Ei, Ej] = О, и наоборот.

Заметим, что в тождествах (35) всегда справедливо соотношение

[Ei, Ej\ = cyE„ (36)

где Ck-соответствующие постоянные. Основная теорема Ли заключается в том, что соотношения, аналогичные (36), справедливы для любой конечно-параметрической группы. Постоянные Ck называются структурными постоянными группы и определяют группу с точностью до изоморфизма.

Мы надеемся, что приведенные только что объяснения позволят понять излагаемые ниже результаты, даже несмотря на то, что их доказательства может понять лишь тот, кто уже знаком с теорией групп Ли.

§ 112. Силы и коммутаторы

Пусть теперь G - произвольное /--параметрическое риманово групповое многообразие, и пусть С -любая однопараметрическая подгруппа группы G, порожденная бесконечно малым преобразованием Е,

В группе G вблизи тождественного преобразования всегда можно ([78], стр. 47) так ввести канонические параметры с базисом из бесконечно малых преобразований Ей £2, . •Еп, что если q = (ь ..qn) -любой достаточно малый векторный элемент группы О, то

q = ехр (q,E\ -+-...-+- q„E„). (37)

С помощью этого обобщения формулы (32) можно получить следующее обобщение тождества (31):

Xq.!.q=(X-ht*)q, (38)