Предыдущий пример является частным случаем более общей «обратной задачи» нахождения всех течений с одномерными годографами, т. е. таких течении, для которых векторы скорости описывают одну-единственную кривую). (В общем случае годографом называется геометрическое место всех векторов скорости потока.)

§ 93. Общие замечания

Очевидно, что метод поиска симметричных решений как раз является одним из таких методов, при которых задаются произвольные функциональные соотношения и затем находятся удовлетворяющие им течения. Другим таким методом является разделение переменных. Таким образом, класс «обратных методов» включает в себя в качестве частных случаев метод поиска симметричных решений и метод разделения переменных.

Большим преимуществом метода поиска симметричных решений по сравнению с остальными двумя является то, что для него мы располагаем теоремами существования симметричных решений, по меньшей мере в малом (ср. § 89). А когда разделение переменных приводит к нетривиальным решениям, то последние обычно связаны с теорией групп.

Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа \U = О для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца Vl/ -t-+ k"U = 0. Было показано 2), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер, т. е. в одну из систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических или сферических координат. Это наводит на мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод конформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы.

Однако утверждение, что всякое разделение переменных в гидромеханике связано с группами (внутренняя симметрия).

) Случай несжимаемой вязкой жидкосгм см. М й 11 е г \V., Einfiihrung in die Theorie der zaiien Flussighciten, Leipzig, 1932; также Zeits ang. Math. Mech., 13 (1938), 395-408. Случай сжимаемой невязкой жидкости см. [72], а также Giese J. Н., Quar. Appl. Math., 9 (1951), 237-246.

) См. [70J, a также Moon P., Spencer D. E., Proc. Am. Math. Soc. 3 (1952), 636-642 и 4 (1953), 302-307 и приведенную там литературу.

§ 94. Метод годографа 189

было бы преувеличением. Несмотря на то что решение) Кармана уравнении Навье - Стокса для течения вблизи вращающегося диска не изменяется при аффинном преобразовании

г->аг, z-z, Ur-*4.Uf, и,->-аи,, и-*-и,

уравнения Навье - Стокса не инвариантны относительно этого преобразования.

Аналогично «обратные» допущения относительно постоянства величины скорости или завихренности на линиях тока и т. д. не имеют никакого отношения к группамБыло бы желательно определить, как это сделано для уравнений Лапласа и Гельмгольца (см. прим. 2) на стр. 188), все системы координат, в которых решения уравнений нестационарного движения жидкостей можно найти методом разделения переменных.

§ 94. Метод годографа

С помощью преобразований годографа можно значительно упростить уравнения сжимаемого невязкого течения. Мы уже видели [гл. I, уравнение (10)], что стационарные безвихревые плоские течения сжимаемой невязкой жидкости взаимно однозначно соответствуют потенциалам скоростей U, которые удовлетворяют нелинейному уравнению в частных производных:

Ю = {U,U,U,, + 2U,U,U, + U,UUyy]. (56)

Здесь индексы означают дифференцирование по соответствующим переменным, а есть местная скорость звука.

Напомним 3), что уравнение (56) эквивалентно одному из следующих линейных уравнений в частных производных: либо уравнению

qV„q[+)v,(\- I-) V,, = 0. (57а)

либо уравнению

Я\, + «7 (l - ) + (l - -fl-) ?е» = 0. (576)

Здесь V-функция тока; е"» - комплексный вектор скорости, так что {/ж = 9cos9 и Uy = qsmb\ с* - однозначная функция

) Karman Th., ZAMM, 1 (1921). 233-252; Batchelor G., Quar. J. Math. Appl. Mech., 4 (1951), 29-41. По поводу дальнейших обобщений см. Вегкег R., работу, цитир. в прим. 1) па стр. 185.

=) Катрё de Feriet J., Proc. Int. Math. Congress, Zurich (1932). t. 2. 298-299; Nemenyi P., Prim R.. Л Math. Phis. MIT, 27, (1948), 130 135.

) Cm. [61, гл. IVA или Seller t H., Math. Annalen, 120 (1947). 75-12&

переменной q, согласно уравнению Бернулли, н ? = IJ - xUx - -yUy - зависимая переменная в лежандровом контактном преобразовании, посредством которого получено уравнение (576).

Теперь нетрудно получить уравнения (57а) и (576), исходя из уравнения (56) и только что указанных определений, но вовсе не ясно, почему нужно было использовать эти переменные годографы, чтобы получить линейные уравнения. Одним из мотивов могло быть то соображение, что метод годографа успешно применяется в задачах со свободными линиями тока (как в § 38). Сейчас мы приведем другую мотивировку, использующую три соображения из теории групп.

Первым из них является инвариантность законов динамики невязкой жидкости относительно группы (18) преобразований Ланжевена:

х->)х, u->u, и-*ги, V-W, <р->).(р.

Оказывается, что уравнение в частных производных, выражающее эти законы, как правило, должно быть неоднородным (и поэтому нелинейным), если в качестве независимых переменных брать Xi, а в качестве зависимых переменных - V, V или ф; но это уравнение будет однородным, если принять за независимые переменные) Ы(, а в качестве зависимых переменных 11, V нли ф.

Нам остается не ясным а priori, почему это однородное уравнение должно быть линейным, когда в качестве зависимых переменных взяты V и ф.

Второе соображение из теории групп - очевидная инвариантность законов движения жидкости относительно группы поворотов 8-6 -t- а, когда q, U, V, 9 остаются фиксированными. Из этого следует, что в формулах (57а) и (576) величина S должна входить только в дифференциальные операторы и не входить в коэффициенты. Следовательно, мы имеем теоретико-групповое оправдание использования в качестве независимых переменных <7 и б) вместо и = Ux » V = Uy. Благодаря этому коэффициенты нашего дифференциального уравнения зависят только от одной нз двух независимых переменных.

Третье теоретико-групповое соображение - это очевидная инвариантность законов движения жидкости относительно груп-

) Это возможно в ма.пом, кроме случая (упомянутого в § 92) одномерного годографа. По причинам, аналогичным описанным в § 89, вообще говоря, это невозможно в большом.

*) Использование переменной w = \п q вместо q подсказывается теорией функций комплексного переменного: w + 19 - In (« + iv).